Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 8 сынып


$M, N, K$ — нүктелері $ABC$ үшбұрышының сәйкесінше $AB, BC, CA$ қабырғаларының орталары болсын. $MN$ және $NK$ кесінділерінен сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері алынған. $AP+AQ=BC$ және $BQ+CP=AB+AC$ қатынастарының бір уақытта орындалуы мүмкін бе?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Нет, невозможно.
Решение. Каждый из отрезков $NK, KM, MN$ равен половине сторон $AB,BC,CA$ соответственно.

$$AP+AQ+BQ+CP=AB+BC+AC \quad(*). $$ Из неравенства треугольника имеем $ AQ < AK+KQ$, $BQ < BN+NQ$. Сложив последние последние два неравенства, получим $$AQ+BQ < AK+KQ+BN+NQ=AK+BN+KN=\frac{1}{2}(AB+AC+BC).$$ Аналогично, получим $$AP+CP < \frac{1}{2}(AB+BC+AC).$$Из последних неравенств следует $$ AQ+BQ+AP+CP < 2 \cdot \frac{1}{2}(AB+BC+AC)=AB+BC+AC, $$ что противоречит $(*)$.