Областная олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс


Прямоугольник вписан в треугольник, если все его вершины лежат на сторонах треугольника. Докажите, что геометрическим местом центров (точек пересечения диагоналей) всех вписанных в данный остроугольный треугольник прямоугольников являются три пересекающихся в одной точке незамкнутых отрезка.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $ABC$ — рассматриваемый треугольник. Обозначим через $C_1$ — середину стороны $AB$, $C_2$ — основание высоты из вершины $C$ и $C_3$ — середину отрезка $CC_2$. Аналогично определим точки $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$.

Из четырёх вершин прямоугольника какие-то две лежат на одной стороне. Пусть это прямоугольник $PQRS$, где точки $P$ и $S$ лежат на отрезке $AB$ (см. рис. выше). Так как $APQ$ и $AC_2C$ — прямоугольные подобные треугольники, то отрезок $AC_3$ делит отрезок $PQ$ пополам. Аналогично, $BC_3$ делит $RS$ пополам. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $PQ$ и $RS$. Так как расстояния от точек $R$ и $Q$ до $AB$ равны, то расстояния от точек $M$ и $N$ до $AB$ также равны, то есть $MN \parallel AB$. Следовательно, $C_1C_3$ делит $MN$ пополам. А это значит, центр $PQRS$ лежит на отрезке $C_1C_3$.
Нетрудно доказать, что для любой точки отрезка $C_1C_3$ существует вписанный прямоугольник, центр которого совпадает с данной точкой. Чтобы построить такой прямоугольник, нужно опустить перпендикуляр из этой точки на $AB$, основание этого перпендикуляра отобразить относительно этой же точки, и через эту точки провести отрезок, параллельный к $AB$, концы которого лежат на сторонах $AC$ и $BC$, и от этих концов опустить перпендикуляры на $AB$. Так как эта точка будет располагаться ближе к $AB$ чем точка $C_3$, то такой искомый прямоугольник существует.
Для завершения решения задачи осталось показать, что все отрезки $C_1C_3$, $A_1A_3$ и $B_1B_3$ пересекаются в одной точке. Это легко следует из теоремы Чевы, так как: \[\dfrac{{{A_1}{C_3}}}{{{C_3}{B_1}}} \cdot \dfrac{{{B_1}{A_3}}}{{{A_3}{C_1}}} \cdot \dfrac{{{C_1}{B_3}}}{{{B_3}{A_1}}} = \dfrac{{B{C_2}}}{{{C_2}A}} \cdot \dfrac{{A{B_2}}}{{{B_2}C}} \cdot \dfrac{{C{A_2}}}{{{A_2}B}} = 1\]