Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1998 год


Пусть $ABC$ — треугольник и $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$. Пусть $E$ и $F$ — точки на прямой, проходящей через $D$ таким образом, что прямая $AE$ перпендикулярна $BE$, $AF$ перпендикулярна $CF$, $E$ и $F$отличны от $D$. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $BC$ и $EF$ соответственно. Докажите, что прямая $AN$ перпендикулярна $NM$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2022-05-14 00:09:54.0 #

Заметим что $E$ и $F$ лежат на окружностях построенных на $AB$ и $AC$ как на диаметрах. Отсюда $\angle ABC=\angle AEF$ и $\angle ACB=\angle AFE$ значит $\triangle ABC \sim \triangle AEF$. Отсюда в силу того что $AN$ и $AM$ соответствующие медианы в подобных треугольниках получаем: $\angle ANE = \angle AMB$ значит точки $A, N, D, M$ лежат на одной окружности следовательно $\angle ANM=\angle ADM=90$