Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс

Последовательность $\{{{a}_{n}}\}$ определяется следующим образом: ${{a}_{1}}=2015$, ${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ и при всех натуральных $n\ge 1$ \[{a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\frac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .\] Докажите, что существуют натуральные числа $M$ и $c$ такие, что при всех $n\ge M$ число $n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ будет точной степенью. (Здесь $\left\lceil x \right\rceil $ — верхняя целая часть числа $x$, то есть наименьшее целое число, которое не меньше $x$. Число называется точной степенью, если оно представимо в виде ${{m}^{k}}$ для некоторых целых $m > 1$ и $k > 1$.) ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Решение (200 пост): Докажем, что $a_{i+1}\in\left(a_i;\dfrac{i}{i-1}a_i\right),\forall i\ge 2.$ Сделаем это индукцией по $i.$ База очевидна. Допустим это верно для $2 \le i<n,$ и докажем для $n.$ Для этого запишем ряд равенств/неравенств

$$ a_n < a_{n-1}+\dfrac{a_n}{n-1} \le a_{n+1} = a_{n-1}+\left\lceil \dfrac{a_n}{n-1} \right\rceil < a_{n-1} + 1 + \dfrac{a_n}{n-1} \le a_n + \dfrac{a_n}{n-1}=\dfrac{n}{n-1}a_n.\square$$

Заметим, что тогда

$$\dfrac{a_2}{1}>\dfrac{a_3}{2}>\ldots>\dfrac{a_{j+1}}{j}>\ldots>0$$

$$\implies \left\lceil \dfrac{a_2}{1} \right\rceil \ge \left\lceil \dfrac{a_3}{2} \right\rceil \ge \ldots \ge \left\lceil \dfrac{a_{j+1}}{j} \right\rceil \ge \ldots \ge 1.$$

Откуда для некоторого натурального $N,\forall n\ge N,\left\lceil \dfrac{a_{n+1}}{n}\right\rceil=C$ $-$ натуральная константа, следовательно

$$Cn\ge a_{n+1} > (C-1)n,\ \ a_{n+2}=a_{n}+C$$

$$\implies a_{n+1}+Ci=a_{n+2i+1}>(C-1)(n+2i)$$

$$\implies a_{n+1}-(C-1)n>i(C-2),$$

из чего вытекает, что $C\le 2.$ Очевидно, что $C=2,$ так как $a_{n+2}>a_{n+1}>a_{n}.$ Отсюда же $a_n+2=a_{n+1}+1=a_{n+2},$ поэтому

$$a_{n}=n+t,\forall n\ge M, t=a_{M}-M>0$$

для некоторого $M.$ Теперь если рассмотреть $c=t^2$

$$\forall n\ge M: na_{a_n}+c=n\cdot a_{n+t}+t^2=n\cdot(n+2t)+t^2=(n+t)^2,$$

что является точной степенью.