Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 11 класс

Вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $N$. Пусть $P$ — точка пересечения прямой $MN$ и биссектрисы угла $B$ (или ее продолжения). Докажите, что угол $BPC$ — прямой.

Комментарий/решение

Достаточно доказать, что если $P_1$ — точка биссектрисы угла $B$ (или её продолжения), из которой отрезок $BC$ виден под углом $90^{\circ}$, то $P_1$ лежит на прямой $MN$. Точки $P_1$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $CO$, где $O$ — точка пересечения биссектрис, поэтому $\angle(P_1N, NC) = \angle(P_1O, OC) = \cfrac{180^{\circ} − \angle A}{2} = \angle (MN, NC)$.

В. В. ПРАСОЛОВ