23-я Балканская математическая олимпиадаАгрос, Кипр, 2006 год

Пусть заданы треугольник $ABC$ и прямая $m$, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ внутренним образом соответственно в точках $D$ и $F$, и продолжение $BC$ в точке $E$ (точка $C$ находится между точками $B$ и $E$). Прямые, параллельные прямой $m$ и проходящие через точки $A$, $B$ и $C$, пересекают заново описанную окружность треугольника $ABC$ соответственно в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $A_1E$, $B_1F$ и $C_1D$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Пусть $\omega$ окружность описанная около $ABC$ , пусть $ T \in DF \cap A_{1}B_{1} $ тогда $ \angle FTB_{1} = \angle FCB_{1} $ так как $\angle FCB_{1 } = 180^{\circ} - \angle ABB_{1} = 180^{\circ} - \angle A_{1}TF = \angle FTB_{1}$ тогда $FTCB_{1}$ вписанный , если $ G \in \omega \cap C_{1}D$ , пусть $ H \cap CT \cap \omega$ тогда $AG = HA_{1}$ , тогда так как $\angle TCF = \angle TB_{1}F$ тогда $G,F,B_{1}$ лежат на одной прямой , но так как $ \angle B_{1}AC_{1} = \angle C_{1}AB = \angle C_{1}CB = \angle TEC $ то есть $TA_{1}CE$ вписанный , значит $ \angle AC_{1}G = \angle A_{1}CT = \angle A_{1}ET $ то есть $G,A_{1},E$ лежат на одной прямой , откуда $G$ точка пересечение $A_{1}E, \ B_{1}F , \ C_{1}D$

Математическая олимпиада Агрос, Кипр, 2006 год

Задача 2. Пусть заданы треугольник АВС и прямая m пересекающая стороны АВ и АС внутренним образом соответственно в точках D и F , и продолжение ВС в точке Е ( точка С находится между точками В и Е ). Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки А, В и С, пересекают заново описанную окружность треугольника АВС соответственно в точках А1 , В1 и С1. Докажите, что прямые А1Е, В1F и С1D пересекают в одной точке.

Решение:

В начале докажем, что Р – точка пересечения прямых С1D и В1F лежит на описанной окружности тругольника АВС. Пусть Р1 – точка пересечения прямой В1F и описанной окружности. Так как прямые ВВ1 и СС1 параллельны, то дуги ВВ1 и В1С равны , то четырехугольник АDFР1 является описанным ( так как сумма углов DFР1 и DAР1 равна 180°)

Пусть прямая Р1D пересекает

описанную окружность треугольника

АВС в точке С2. Посколько углы

АDР1 и АFР1 равны , то будут равны

дуги ВС2 = В1С = ВС1, следовательно

С1 = С2, а также Р1 = Р.

Аналогичным образом прямые

А1Е и В1F пересекают на описанной

окружности треугольника АВС, так как

прямая B1F проходит через точку Р , то эта точка пересечения будет точкой Р. Таким образом прямые А1Е, В1F и С1D пересекаются в точке Р.

Бро, используй "правила набора формул". Это стоит над контейнером где ты пишешь решшение

Бро, не переписывай условие, в этом нет смысла, используй $\LaTeX$, про него узнай в правилах набора формул, или загугли.