30-я Балканская математическая олимпиадаАгрос, Кипр, 2013 год

Решите уравнение $x^5 + 4^y = 2013^z$ в положительных целых числах $x$, $y$ и $z$.

Комментарий/решение

$x^5+4^y=2013^z$

$2013=3*11*61$

$x \perp 3,x \perp11, x \perp 61$

$x^{10} \equiv 1 \pmod {11}, \Rightarrow x^5 \equiv \pm1 \pmod {11}$

$4^{y} \equiv 4,5,9,3,1 \pmod {11} \Rightarrow 4^{y} \equiv 1 \pmod {11}$

$\Rightarrow y \vdots 5,тогда,\exists k \in \mathbb{N},y=5k$

$x \equiv 2 \pmod {3} \Rightarrow x+4^k \vdots 3$

$x^5+4^{5k}=2013^z$ $\Longleftrightarrow$ Пусть ($4^{k}=t$) $(x+t)*(x^4-x^3*y+x^2*y^2-x*y^3+y^4)$

$x+4^k=s*p^{\alpha} \Longleftrightarrow x+t=s*p^{\alpha} \Longleftrightarrow x \equiv {-t} \pmod {p^{\alpha}}$

$x^4-x^3*t+x^2*t^2-x*t^3+t^4 \equiv 5*x^4 \pmod {p^{\alpha}}$ и $x \perp p$

$p|x+4^k$ То по LTE $v_p(x^5+4^{5k})=v_p(x+4^k)+v_p(5)=v_p(x+4^k)$

$\Rightarrow$ $x^4-x^3*y+x^2*y^2-x*y^3+y^4 \perp p$

Пусть $x^4-x^3*y+x^2*y^2-x*y^3+y^4=A$

$(x+4^k)*A=2013^z$

Рассмотрим 4 случая

$1)$ $(x+4^k)=2013^z;A=1$ уравнение не имеет решения

$2)$ $(x+4^k)=3^z;A=11^{z}*61^{z}$ $\Rightarrow$ $2013^z=x^5+4^{5k} \lt (x+4^{k})^{5}=3^{5z}=243^z$ что невозможно

$3)$ $(x+4^k)=(3*61)^z$, $A=11^z$ используем общеизвестное неравенство $x^5+y^5 \gt (x+y)^3$ $\Rightarrow$

$2013^z=x^5+(4^k)^{5} \gt (x+4^k)^3=(3*61)^{3z}$ что невозможно

$4)$ $(x+4^k)=(3*11)^z$,$A=61^Z$ $\Rightarrow$ $2013^z=x^5+4^{5k} \gt (x+4^k)^3=(3*11)^z$ что тоже невозможно

Откуда следует что уравнение не имеет решений в положительно целых числах $x,y,z$