Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2008 жыл

Дөңес $ABCD$ төрбұрышының $AC$ және $BD$ диагоналдары $E$ нүктесінде қиылысады, $M$ нүктесі --- $AE$ кесіндінің ортасы, $N$ нүктесі --- $CD$ кесіндінің ортасы. $BD$ диагоналы $ABC$ бұрышының биссектрисасы болып табылады. $ABCD$ төрбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады сонда және тек қана сонда, егер $MBCN$ төрбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады екендігін дәлелде.

Комментарий/решение

Если около описанного четырёхугольника $MBCN$ , следует что можно описать окружность около $ABCD$ , то верно и обратное . Положим что около четырехугольников $BMCN , BCDA$ можно описать окружность. Из этого следует следует что $ \angle BMN = \angle BAD $ , значит требуется доказать что $ \Delta BMN$ и $ \Delta ABD$ (2) подобны , так как $BD$ биссектриса то $\Delta BCD$ и $ \Delta ABE$ подобны. Откуда $\frac{BM}{BN} = \frac{AB}{BD} $ , $BM , BN$ Медианы соответствующих треугольников . Значит треугольники (2) действительно подобны.