Қалалық Жәутіков олимпиадасы 7 сынып, 2002 жыл

Бұрышы $30{}^\circ $-қа тең тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының ортасынан тұрғызылған перпендикуляр үлкен катеттің $1/3$-не тең екенін делелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $\triangle ABC $- прямоугольный, с гипотенузой $AB $, причем угол $B $ равен 30 градусов. $AE=EB $ ; $ AB $ перпендикулярно $EF $. Пусть $AC=x $, тогда $AC=AE=EB=CE=x $. Из треугольника $BEF $ находим $EF =x\cdot {tg 30} =\dfrac {x\sqrt 3}{3} $. Из треугольника $ ABC $ получим $BC=x\sqrt 3$. Теперь ясна истинность утверждения.