Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2004 год

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей дает полный квадрат.

Комментарий/решение

Тогда нам надо доказать, что $t(t+1)(t+2)(t+3)+1=k^2$ где $t,k\in Z$

$t(t+1)(t+2)(t+3)+1=(t^2+3t)(t^2+3t+2)+1$

Пусть $t^2+3t=b$, тогда,

$b(b+2)+1=b^2+2b+1=(b+1)^2$ Значит $b+1=k$