Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2004 год


Задача №1.  Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей дает полный квадрат.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Число $x$ таково, что $15\%$ от него и $33\%$ от него — целые положительные числа. Каково наименьшее число $x$ (необязательно целое!) с таким свойством?
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Дано число $100\ldots 01$. Число нулей в нем равно 20. Доказать, что это число составное.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Придумайте три треугольника, из которых можно составить (без наложений) и треугольник, и выпуклый четырехугольник, и выпуклый пятиугольник (каждый раз надо использовать все три треугольника, треугольники разрешается поворачивать).
комментарий/решение
Задача №5.  Дан квадрат со стороной 1. Найти множество всех точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Есть две кучки конфет по девять в каждой. За один ход нужно переложить из одной кучки в другую одну конфету и съесть две конфеты из какой-либо кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто побеждает в данной игре — первый, т.е. кто начинает игру, или второй?
комментарий/решение
Задача №7.  $x$ и $y$ — целые числа такие, что $3x+7y$ делится на 19. Докажите, что $43x+75y$ тоже делится на 19.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Дан квадрат $5\times 5$ клеток. Расставьте в клетках этого квадрата плюсы и минусы так, чтобы в любом квадрате $3\times 3$ оказалось ровно 8 плюсов.
комментарий/решение(1)
Задача №9.  На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с вершиной в точке $C$ взята точка$M$, а на отрезке $MC$ — точка $N$ так, что$MN=AM$. Известно, что углы $BAM$ и $NAC$ равны. Найдите величину угла $MAC$.
комментарий/решение(3)
Задача №10.  Теплоход отплыл из порта $A$ в порт $B$. Через $7,\!5$ часов вслед за ним из порта $A$ вышел катер. На половине пути катер догнал теплоход. Когда катер прибыл в порт $B$, теплоходу осталось плыть $ 0,\!3$ всего пути. Какое время потребовалось теплоходу на весь путь от $A$ до $B$, если скорости катера и теплохода постоянны?
комментарий/решение