Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2006 жыл

Тең бүйірлі емес сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $BD$ биіктігі жүргізілген. $DB$-ның созындысында $B$ нүктесінен ары $\angle KAC=\angle BCA$ орындалатындай $K$ нүктесі алынған. $B$ нүктесінен өтетін және $AC$ түзуін $C$ нүктесінде жанайтын шеңбер $BD$-ны $AKC$ үшбұрышының ортоцентрі болатын нүктеде қиып өтетінін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

$\text{Назовем окружность: } \omega_0$

$\omega_0 \cap BD = A'$

$CA' \cap AK = L$

$\angle CA'D = \angle CAL,$ $\angle A'CD = \angle ACL \Rightarrow \triangle CA'D \sim \triangle CAL$

$\angle CLA = \angle BDC = 90^\circ \square$