Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2009 год

Пусть для натуральных чисел $k,l$ и $m$ выполняется неравенство $\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{m} < 1$. Докажите, что тогда выполняется и неравенство $\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{m}\le \dfrac{41}{42}$.

Комментарий/решение

$S=\cfrac{1}{k}+\cfrac{1}{l}+\cfrac{1}{m}<1$

Найдем $S_{max}$, для этого положим $k=2, \, l=3$, тогда получим:

$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{m}<1$

$m>6$

Тогда, $S_{max} = \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{7} = \cfrac{41}{42}$, значит $S=\cfrac{1}{k}+\cfrac{1}{l}+\cfrac{1}{m} \leqslant \cfrac{41}{42}.$