1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Городские олимпиады
  4. Городская Жаутыковская олимпиада
  5. 9-я олимпиада (2009 год)
  6. 9 класс

Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2009 год


Задача №1.  В шахматном турнире, проходившем по круговой системе (все участники играют между собой ровно один раз), участвовало не менее 16 игроков. За победу в партии игроку дается 1 очко, за поражение — 0, за ничью — пол-очка. Известно, что по итогам турнира число участников, набравших не более пяти очков, равно 11. Сколько участников набрали по 7 очков? Ответ обоснуйте.
комментарий/решение
Задача №2.  Вычислите: $\cos 4{}^\circ \cdot \cos 8{}^\circ \cdot \cos 12{}^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 84{}^\circ \cdot \cos 88{}^\circ $.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть для натуральных чисел $k,l$ и $m$ выполняется неравенство $\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{m} < 1$. Докажите, что тогда выполняется и неравенство $\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{m}\le \dfrac{41}{42}$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ $\angle BAC=\angle DBC=30{}^\circ ,\angle BCA=20{}^\circ $ и $\angle BDC=70{}^\circ $. Докажите, что $ABCD$ — трапеция.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все целочисленные решения уравнения: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{2}^{2009}}$.
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Найдите наименьшее натуральное число, не делящееся на 11, такое, что при замене любой его цифры на цифру, отличающуюся от выбранной на 1 (например, 3 может быть заменена 2 или 4; 9 может быть заменена только 8), получается число, делящееся на 11.
комментарий/решение(1)
Задача №7.  При каких натуральных $n$ существует целое число, квадрат которого равен ${{n}^{3}}-32{{n}^{2}}+n$?
комментарий/решение
Задача №8.  Дан треугольник со сторонами $a=\dfrac{{{2}^{2000}}}{{{3}^{999}}}$, $b=\dfrac{{{2}^{2002}}}{{{3}^{1000}}}$, $c=\dfrac{5\cdot {{2}^{2000}}}{{{3}^{1000}}}$. Сначала построили треугольник, стороны которого равны медианам этого треугольника. Потом построили треугольник, стороны которого равны медианам построенного треугольника. Затем построили треугольник со сторонами, равными медианам предыдущего треугольника, и т.д., пока не получился треугольник с целыми сторонами. Докажите, что он является прямоугольным.
комментарий/решение(1)