Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2009 год

Дан треугольник со сторонами $a=\dfrac{{{2}^{2000}}}{{{3}^{999}}}$, $b=\dfrac{{{2}^{2002}}}{{{3}^{1000}}}$, $c=\dfrac{5\cdot {{2}^{2000}}}{{{3}^{1000}}}$. Сначала построили треугольник, стороны которого равны медианам этого треугольника. Потом построили треугольник, стороны которого равны медианам построенного треугольника. Затем построили треугольник со сторонами, равными медианам предыдущего треугольника, и т.д., пока не получился треугольник с целыми сторонами. Докажите, что он является прямоугольным.

Комментарий/решение

Так как $a=3 \cdot \cfrac{2^{2000}}{3^{1000}}, \, b=4 \cdot \cfrac{2^{2000}}{3^{1000}}, \, c=5 \cdot \cfrac{2^{2000}}{3^{1000}}$, то исходный треугольник прямоугольный.

Медианы и стороны связаны соотношением: $m_{a}^2+m_{b}^2+m_{c}^2=\cfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$.

Значит, будет получен треугольник со сторонами $a=3, \, b=4, \, c=5$.