Қалалық Жәутіков олимпиадасы 7 сынып, 2011 жыл

Үстелде 35 жаңғақ үймесі жатыр. Кез келген 23 үймеге бір-бірден жаңғақ қосуға болады. Осы операцияны қайталап отырып барлық үймелерді теңестіруге болатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Рассмотрим еще одну операцию – удаление из всех кучек по 2 ореха. Ее выполнение не влияет на равенство кучек. Добавим по одному ореху к кучкам $1, 2, … , 23$, потом к кучкам $24, 25, … , 35, 1, 2 …, 11$, а затем к кучкам $12, 13, …, 34$; после чего удалим из всех кучек по 2 ореха. Эта операция уменьшает количество орехов в одной из куч на 1. Проводя подобные операции, можно сделать все кучи нулевыми.