2-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Афины, Греция, 1998 год

Пусть $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник такой, что $AB=AE=CD=1$, $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ и $BC+DE=1$. Вычислите площадь пятиугольника. ( Greece )

Комментарий/решение

На стороне $CD$ отметим точку $H$ так, что $BC=CH$, $ED=DH$. Тогда $BC$, $CH$ - касательные из точки $C$, $ED$, $DE$ - касательные из точки $D$ окружности $\omega$ c центром в точке $A$ и радиусом $1$. Значит, $AH$ радиус, опущенный в точку касания окружности $\omega$ и прямой $CD$, тогда $\triangle ABC = \triangle AHC$, $\triangle AED = \triangle AHD$. Значит, $S_{ABCDE} = 2\cdot S_{ACD}=2\cdot \cfrac{AH \cdot CD}{2}=1$.