Greece


Задача №1.  Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, точки $N$ и $M$ — середины сторон $AB$ и $CA$ соответственно. Прямые $BI$ и $CI$ пересекают $MN$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $AI+BI+CI > BC+KL$. ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Пусть $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник такой, что $AB=AE=CD=1$, $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ и $BC+DE=1$. Вычислите площадь пятиугольника. ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  В треугольнике $ABC$ верно $AB=AC$. Пусть $D$ точка на стороне $BC$ такая, что $BC > BD > DC > 0$, $\mathcal{C}_1$ и $\mathcal{C}_2$ — описанные окружности треугольников $ABD$ и $ADC$ соответственно. Пусть $BB'$ и $CC'$ — диаметры в этих двух окружностях, а $M$ — середина отрезка $B'C'$. Докажите, что площадь треугольника $MBC$ не зависит от выбора точки $D$. ( Greece )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Если $DF$ и $EF$ ($F\in AE$, $G\in AD$) — биссектрисы углов треугольника $ADE$, докажите что сумма площадей треугольников $DEF$ и $DEG$ не превышает площади треугольника $ABC$. При каких условиях выполняется равенство? ( Greece )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  В треугольнике $ABC$ выполняется $CA = CB$. Точка $P$ лежит на дуге $AB$ описанной окружности, не содержащей точки $C$. Точка $D$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $PB$. Докажите, что $PA + PB = 2 \cdot PD$. ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  Докажите, что для всех положительных действительных чисел $a,b,c$ выполняется следующее неравенство \[ \frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} . \] ( Greece )
комментарий/решение олимпиада