6-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Тыргу-Муреш, Румыния, 2002 год


Задача №1.  В треугольнике $ABC$ выполняется $CA = CB$. Точка $P$ лежит на дуге $AB$ описанной окружности, не содержащей точки $C$. Точка $D$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $PB$. Докажите, что $PA + PB = 2 \cdot PD$. ( Greece )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Две окружности разных радиусов с центрами в точках $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$ так, что центры $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на разных сторонах от прямой $AB$. Прямые $BO_{1}$ и $BO_{2}$ пересекают свои соответствующие окружности повторно в точках $B_{1}$ и $B_{2}$. Пусть $M$ — середина отрезка $B_{1}B_{2}$. $M_{1}$ и $M_{2}$ — точки взятые на окружностях с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно так, что $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$, $B_{1}$ лежит внутри $\angle AO_1M_1$, $B$ лежит внутри $\angle AO_2M_2$. Докажите, что $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$. ( Ciprus )
комментарий/решение
Задача №3.  Найдите все натуральные числа $n$, которые имеют в точности 16 натуральных делителей $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$, такие, что $d_k=(d_2 + d_4) \cdot d_6$, где $k = d_5$. ( Bulgaria )
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что для всех положительных действительных чисел $a,b,c$ выполняется следующее неравенство \[ \frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} . \] ( Greece )
комментарий/решение