6-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Тыргу-Муреш, Румыния, 2002 год


Докажите, что для всех положительных действительных чисел $a,b,c$ выполняется следующее неравенство \[ \frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} . \] ( Greece )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2021-04-13 11:42:35.0 #

Используем Неравенство КБШ (дробного вида), сокращаем уравнение, и доказываем что $$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac)$$ $$( AM \geq GM)$$

  1
2021-04-13 19:50:15.0 #

Inequalities From Around the World 1995-2005. Solutions to ’Inequalities through problems’ by Hojoo Lee.

№45 есеп.

  0
2021-07-23 17:36:01.0 #

По неравенству Гельдера для $3$ скобок:

$$(\dfrac{1}{b(a+b)}+\dfrac{1}{c(b+c)}+\dfrac{1}{a(c+a)})(b+c+a)(a+b+b+c+c+a) \geq (1+1+1)^3,$$

то есть $(\dfrac{1}{b(a+b)}+\dfrac{1}{c(b+c)}+\dfrac{1}{a(c+a)}) \geq \dfrac{3^3}{(b+c+a)(a+b+b+c+c+a)}=\dfrac{27}{2(b+c+a)^2}$