Bulgaria


Задача №1.  Внутри единичного квадрата даны 9 точек. Докажите, что из них можно выбрать три, которые образуют треугольник с площадью не более $\frac 18$. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Существует ли 16 трёхзначных натуральных чисел, которые всего содержат три различные цифры так, что все числа дают различные остатки при делении на 16? ( Bulgaria )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Найдите все натуральные числа $n$ такие, что число $n^2+3^n$ является точным квадратом. ( Bulgaria )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$ и $CA \neq CB$. Пусть $CH$ — высота и $CL$ биссектриса. Докажите, что для любой точки $X$ прямой $CL$, отличной от $C$, углы $\angle XAC$ и $ \angle XBC$ будут отличны. Также докажите, что для любой точки прямой $CH$, отличной от $C$, углы $\angle YAC$ и $ \angle YBC$ отличны. ( Bulgaria )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  Найдите все натуральные числа $n$, которые имеют в точности 16 натуральных делителей $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$, такие, что $d_k=(d_2 + d_4) \cdot d_6$, где $k = d_5$. ( Bulgaria )
комментарий/решение олимпиада