1-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Белград, Югославия, 1997 год


Задача №1.  Внутри единичного квадрата даны 9 точек. Докажите, что из них можно выбрать три, которые образуют треугольник с площадью не более $\frac 18$. ( Bulgaria )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть $\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$. Выразите следующее выражение через $k$: $E(x,y) = \dfrac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \dfrac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}.$ ( Ciprus )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, точки $N$ и $M$ — середины сторон $AB$ и $CA$ соответственно. Прямые $BI$ и $CI$ пересекают $MN$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $AI+BI+CI > BC+KL$. ( Greece )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Определите вид треугольника со сторонами $a,b,c$ и радиусом описанной окружности $R$, для которого выполнено соотношение $R(b+c) = a\sqrt{bc}$. ( Romania )
комментарий/решение(1)