Romania


Задача №1.  Определите вид треугольника со сторонами $a,b,c$ и радиусом описанной окружности $R$, для которого выполнено соотношение $R(b+c) = a\sqrt{bc}$. ( Romania )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Пусть $A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$ при всех целых неотрицательных $n$. Найдите наибольший общий делитель чисел $A_0$, $A_1$, $\ldots$, $A_{1999}$. ( Romania )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Решите уравнение $a^3+b^3+c^3=2001$ в натуральных числах. ( Romania )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  Пусть на плоскости отмечено $n$ точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой и как бы мы не обозначили их буквами $A_1,A_2,\ldots,A_n$ ломанная $A_1A_2\ldots A_n$ не будет самопересекающейся. Найдите максимально возможное значение числа $n$. ( Romania )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  Пусть $x$, $y$ положительные действительные числа, для которых справедливо равенство $x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000. $ Докажите, что $x + y = 10$. ( Romania )
комментарий/решение(1) олимпиада