4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Охрид, Македония, 2000 год

Найдите все натуральные числа $n$ такие, что число $n^2+3^n$ является точным квадратом. ( Bulgaria )

Комментарий/решение

$Решение$:

$$n^2+3^n=a^2 \rightarrow (a-n)(a+n)=3^n$$

С этого места представим произведение в виде степеней тройки.Сразу рассмотрим случай когда $a-n=1$; $a+n=3^n$ (обратный случай невозможен ибо $a+n>a-n$).

$\rightarrow a=n+1 \rightarrow a=2; n=1$.

А теперь случай когда они оба являются степенями тройки, очевидно что если $a+n=3^x$ и $a-n=3^y$ то $x>y$.

Значит $3^x-3^y=2n$, дальше по индукции.

Так как минимальным количеством у уравнения очевидно будет $3^{k+1}-3^{k}$(При этом мы берём что $n>3; 2k+1$ будет как минимум 3)$\rightarrow 2*3^k,$ то при этом $3^k=2k+1$ ($2k+1=n$).

По индукции если $n>1$ то $3^k>2k+1$

В случай если n=3, работает.

Спасибо pokpokben за нахождение ошибки!

$Ответ$: $n=1;a=2$;$n=3;a=6$

Ответ $n=3$ подходит

Спасибо большое Дамир, исправил.