6-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Тыргу-Муреш, Румыния, 2002 год

В треугольнике $ABC$ выполняется $CA = CB$. Точка $P$ лежит на дуге $AB$ описанной окружности, не содержащей точки $C$. Точка $D$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $PB$. Докажите, что $PA + PB = 2 \cdot PD$. ( Greece )

Комментарий/решение

Продлим $PB$ так чтобы $BD=DN$ , $N \in PB$ тогда получим , что надо доказать $ PN=AP$ , которая следует из того что $\angle CAP = \angle CNP$ так же $ \angle APC = \angle BPC$ так как треугольник равнобедренный , и $\angle ACP = \angle PCN$ , то есть $AP = PN$ .

Разве вы продлеваете $PB$? Вы же берете точку на стороне $PB$

Возьмем точку $N$ на $PB$, что $DN=DB$ (мы можем это сделать, так как $PC>PB$, то есть $PD>DB$), тогда осталось доказать, что $PA=PN$, что следует из равенства треугольников $PAC$ и $PCN$, что можно доказать простым счетом углов.

упс, такое решение уже есть

хаахах, ну и ну..

я подумал, что он продлевает $PB$ и не стал дочитывать, ведь я же не продлеваю, только потом решил прочесть полностью...

мораль всей басни такова:

морали нет, идем звать Abensad'а рассказать её!

Спасибо за этот интересный рассказ, Mopsichek-кун!