9-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Верия, Греция, 2005 год

Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению $ 9(x^2+y^2+1) + 2(3xy+2) = 2005 .$

Комментарий/решение

$$9(x^2+y^2+1)+2(3xy+2)=2005 \Rightarrow (3x+y)^2+8y^2=1992 $$

$$(3x+y)^2+8y^2=1992 \Rightarrow y^2=249-\frac{(3x+y)^2}{8}$$

$$y^2<249\Rightarrow 225, 196, 169, 144, 121, 100, 81, 64,.....$$

$$y=11, x=7$$

x=11, y=7 тоже подходит

$9x^2+9y^2+9+6xy+4=2005$

$9x^2+9y^2+6xy+=1992$

$3x^2+3y^2+2xy=664$

$x^2+y^2+2xy+x^2+y^2+2xy+x^2+y^2-2xy=664$

$2(x+y)^2+(x-y)^2=664$

И методом подбора можно найти что $x,y={11,7;7,11}$