9-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Верия, Греция, 2005 год


Задача №1.  Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению $ 9(x^2+y^2+1) + 2(3xy+2) = 2005 .$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $k$. Касательная прямая к окружности $k$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Точка $M$ — середина отрезка $AP$. Прямая $BM$ во второй раз пересекает окружность $k$ в точке $R$, а прямая $PR$ во второй раз пересекает окружность $k$ в точке $S$. Докажите, что прямые $AP$ и $CS$ параллельны.
комментарий/решение
Задача №3.  Докажите, что можно выбрать
(a) 5 точек на плоскости так, что среди всех треугольников с вершинами в этих точках найдутся 8 прямоугольных;
(b) 64 точек на плоскости так, что среди всех треугольников с вершинами в этих точках найдутся не менее 2005 прямоугольных.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все трёхзначные числа $\overline{abc}$, для которых выполняется равенство $ \overline{abc} = abc(a+b+c) ,$ где $\overline{abc}$ — десятичная запись числа, записанные цифрами $a,b,c$.
комментарий/решение