Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

$x$ және $y$ сандары келесі шартты қанағаттандырады: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} = 4,\\ {x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4} = 8. \end{array} \right.$ Онда ${{x}^{6}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+{{y}^{6}}$ натурал сан екенін дәледеңіз және оны табыңыз.

Комментарий/решение

$$x^2 + xy + y^2 = 4$$

$$x^4 + x^2*y^2+y^4 = 8$$

$$x^2 +y^2 = 4-xy$$

$$(x^2+y^2)^2-x^2*y^2 = (4-xy)^2-x^2*y^2=8$$

$$x*y=1$$

$$x^2+y^2=3$$

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=3 отсюда (x+y)^2 =5$$

$$ x^6+x^3*y^3+y^6=(x^3+y^3)^2-(xy)^3=(x+y)^2*(x^2+y^2-xy)^2-(xy)^3=5*4-1=19$$