Математикадан жасөспірімдер арасындағы 18-ші Балкан олимпиадасы 2014 жыл, Охрид, Македония

$S$ — сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының ауданы болсын. $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) және $DN \perp BC$ ($N \in BC$) болсын. $H_1$ және $H_2$ нүктелері сәйкесінше $MNC$ және $MND$ үшбұрыштарының қиылысу нүктелері болсын. $AH_1BH_2$ төртбұрышының ауданын $S$ арқылы өрнектеңіздер.

Комментарий/решение

Из условия следует $DN || MH_{1}, \ DM || NH_{1}, \ H_{2}D || CH_{1}$ откуда треугольники $H_{2}MN, CNM$ равны по трем высотам, тогда $D$ точка пересечения высот треугольника $MH_{2}N$(из условия) откуда $CD=H_{2}H_{1}$ и $CD || H_{2}H_{1}$ значит $H_{2}H_{1} \perp AB$ откуда $S_{AH_{2}BH_{2}} = \dfrac{AB \cdot H_{2}H_{1}}{2} = \dfrac{AB \cdot CD}{2} = S$