33-я Международная Математическая OлимпиадаРоссия, Москва, 1992 год

На плоскости даны окружность $C$, прямая $l$, касающаяся $C$, и точка $M$ на $l$. Найти множество всех точек $P$, удовлетворяющих следующему условию: существуют две такие точки $Q$ и $R$, лежащие на $l$, что $M$ — середина $QR$ и окружность $C$ вписана в треугольник $PQR$.

Комментарий/решение

Пусть $T$ - точка, где $C$ касается $L$, $T'$ - точка, диаметрально противоположная $T$ на $C$, а $S$ - отражение $T$ над $M$. Мы утверждаем, что ГМТ - это луч с конечной точкой $T'$, направленный по направлению от $S$ к $T'$, не включая $T'$.

Хорошо известно, что для выполнения заданных условий необходимо, чтобы $P$, $T'$ и $S$ были коллинеарны (рассмотрим гомотетию в $P$, которая направляет $C$ на окружность $P$, где $S$ - точка касания окружности с $\overline{QR}$). Таким образом, $P$ должна лежать на прямой $\overline{T'S}$. Однако, если $P$ ближе к $S$, чем $T'$ или $P = T'$, то невозможно провести касательные $\overline{PQ}$ и $\overline{PR}$ так, чтобы $C$ была окружностью.

Чтобы показать, что все точки в ГМТ работают, выберем любую точку $P$ и пусть ее касательная к $C$ пересекает $L$ в точках $Q$ и $R$. Поскольку средняя точка $M'$ из $\overline{PQ}$ является единственной точкой, такой, что $T$ является отражением $S$ через $M'$, мы должны иметь $M'=M$, что завершает доказательство.