Математикадан 42-ші халықаралық олимпиада, 2001 жыл, Вашингтон

$n$ — тақ сан, $n > 1$ және ${{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,{{k}_{n}}$ — берілген бүтін сандар болсын. $1,2,\ldots ,n$ сандарының әрбір $a=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ болатын $n!$ орын ауыстырулары үшін $S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{k}_{i}}}{{a}_{i}}$ есептейміз. $S\left( b \right)-S\left( c \right)$ саны $n!$--ге бөлінетіндей әр түрлі $b$ және $c$ орын ауыстырулары табылатынын дәлелдеңіздер.