Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2011 жыл

$ABC$ үшбұрышына іштейсырт сызылған шеңбер, $AB$ қабырғасымен $P$ нүктесінде жанасады, ал $AC$ және $ABC$ қабырғаларының созындыларымен сәйкесінше $Q$ және $R$ нүктелерінде жанасады. Егер $PQ$ кесіндісінің ортасы $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберде жатса, $PR$ кесіндісінің ортасы да осы шеңбер бойында жататынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Докажем, что $ABMN$ - вписанный четырехугольник. Тогда утверждение задачи очевидно.

Пусть $\angle A=2\alpha$, $\angle B=2\beta$, $\angle C=2\gamma$. Из равнобедренности треугольников $APQ$ и $BPR$ следует, что $A,M,I_C$ на одной прямой и $B,N,I_C$ на одной прямой, где $I_C$ - центр вневписанной окружности. $\angle PBN=\alpha+\gamma$. Нам достаточно доказать, что $\angle I_CMN=\alpha+\gamma$. Пусть $K=I_CM\cap QR$. Докажем, что $\angle I_CKR=\alpha+\gamma$. Рассмотрим треугольник $AQK$. В нем $\angle QAK=\gamma+\beta$ и $\angle AQK=90^{\circ}-\gamma$ (это выходит из $\triangle CQR$). Тогда легко понять, что $\angle I_CKR=\angle AKQ=90^{\circ}-\beta=\gamma+\alpha$, т.к. $\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}$