Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2013 год

На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник. ( К. Кохась )

Комментарий/решение

Ответ:Если кол-во камней в кучах равны Выиграет $2$ игрок,не равны выиграет $1$ игрок.

Первый по любому тронет хотя бы $1$ кучу.

Случаи когда кол-во камней в кучах равны:

$1)$Если первый оставит в какой то куче больше $1$ камня то,Второй после его хода будет делать чтобы в этой куче оставался всего $1$ камень.

Сколько кучей тронет первой,в стольких второй оставит $1$ камушек.

$2)$Понятно что если первый уберет хотя бы $1$ кучу полностью,то второй уберет все остальное и выиграет.

$3)$Если первый игрок оставит $1$ камушек в какой то куче то второй оставит $1$ камень в остальных $99$ куч.

И когда во всех кучах останется только $1$ камень Первый игрок уберет любое кол-во куч а второй уберет остальное и выиграет.

Тут разобран случай где все камни равны.

А если кол-во камней не равны тогда выигрывает первый игрок.К примеру,

$2 1 1 1 1 1 1 1 1... 1$

Первый уберет в первой куче $1$ камень и тогда,второй уберет любое кол-во камней,а первый уберет все остальное и выиграет.