Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2013 год


Задача №1.  На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник. ( К. Кохась )
комментарий/решение
Задача №2.  Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AC\parallel DF$, $BD\parallel AE$ и $CE\parallel BF$. Докажите, что $AB^2+CD^2+EF^2=BC^2+DE^2+AF^2$.
комментарий/решение
Задача №3.  Для любых положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $\sqrt {ab} \le \dfrac{1}{3} \cdot \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Вершины связного графа нельзя покрасить меньше чем в $n+1$ цвет так, чтобы соседние вершины были разного цвета. Докажите, что можно удалить из графа $n(n-1)/2$ ребер без потери связности. ( В. Дольников )
комментарий/решение
Задача №5.  Каждая грань куба $7\times7\times7$ разбита на единичные квадраты. Какое максимальное число квадратов можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных квадрата не имели общих точек? ( А. Чухнов )
комментарий/решение
Задача №6.  В клетках таблицы $6\times 6$ стоят квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Все их 108 коэффициентов — целые числа от $-60$ до $47$ (по одному разу). Докажите, что хотя бы в одном столбце сумма квадратных трехчленов имеет корень. ( К. Кохась, Ф. Петров )
комментарий/решение
Задача №7.  Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №8.  Точка $A_1$ на периметре выпуклого четырёхугольника $ABCD$ такова, что прямая $AA_1$ делит площадь четырёхугольника пополам. Аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$ и $D_1$. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника с вершинами $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ больше четверти площади $ABCD$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение