Л. Емельянов


Задача №1.  Биссектрисы углов $A$ и $C$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а биссектрисы углов $B$ и $D$ — в точке $Q$, отличной от $P$. Докажите, что если отрезок $PQ$ параллелен основанию $AD$, то трапеция равнобокая. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №3.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ таким образом, что серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ проходит через центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Докажите, что этот перпендикуляр проходит через вершину треугольника $ABC$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  У Синдбада в кошельке 11 внешне одинаковых динаров, среди которых, возможно, один фальшивый, отличающийся от настоящего по весу, но неизвестно в какую сторону. Как ему расплатиться с торговцем восемью настоящими динарами, если торговец разрешил два раза воспользоваться его чашечными весами, но без гирь? ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  Числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $0 < a \leq b \leq d \leq c$ и $a+c=b+d$. Докажите, что для любой внутренней точки $P$ отрезка длины $a$ этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами $a$, $b$, $c$, $d$, вписанная окружность которого проходит через точку $P$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  На высоте $AA_1$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ такая, что $\angle BDC=90^\circ$, и точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. На отрезке $AH$ как на диаметре построена окружность. Докажите, что длина касательной, проведенной к этой окружности из точки $B$, равна длине отрезка $BD$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  Числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $0 < a \leq b \leq d \leq c$ и $a+c=b+d$. Докажите, что для любой внутренней точки $P$ отрезка длины $a$ этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами $a$, $b$, $c$, $d$, вписанная окружность которого проходит через точку $P$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8.  Радиус окружности $\omega_A$ с центром в вершине $A$ треугольника $ABC$ равен радиусу вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Аналогично строятся окружности $\omega_B$ и $\omega_C$. Докажите, что если какие-то две из этих окружностей касаются, то касаются любые две из них. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9.  Точка $A_1$ на периметре выпуклого четырёхугольника $ABCD$ такова, что прямая $AA_1$ делит площадь четырёхугольника пополам. Аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$ и $D_1$. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника с вершинами $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ больше четверти площади $ABCD$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №10.  Точка $I_1$ симметрична центру $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ относительно стороны $BC$. Описанная окружность треугольника $BCI_1$ вторично пересекает прямую $II_1$ в точке $P$. Известно, что $P$ лежит вне вписанной окружности треугольника $ABC$. Из точки $P$ проведены касательные к этой окружности, которые касаются ее в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $XY$ содержит среднюю линию треугольника $ABC$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №11.  Продолжения сторон $AB$ и $CD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а продолжения сторон $AD$ и $BC$ — в точке $Q$. Докажите, что расстояние между ортоцентрами треугольников $APD$ и $AQB$ равно расстоянию между ортоцентрами треугольников $CQD$ и $BPC$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №12.  Точка $I_1$ симметрична центру $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ относительно стороны $BC$. Описанная окружность треугольника $BCI_1$ вторично пересекает прямую $II_1$ в точке $P$. Известно, что $P$ лежит вне вписанной окружности треугольника $ABC$. Из точки $P$ проведены касательные к этой окружности, которые касаются ее в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $XY$ содержит среднюю линию треугольника $ABC$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №13.  Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Докажите, что из отрезков $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ можно составить треугольник. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада