Ф. Петров


Задача №1.  В окружность с центром $O$ и радиусом 1 вписан остроугольный треугольник $ABC$, все углы которого больше $45^\circ$. Из точки $B$ опущен перпендикуляр $BB_1$ на прямую $CO$, а из точки $B_1$ опущен перпендикуляр $B_1B_2$ на прямую $AC$. Точно так же из точки $C$ опущен перпендикуляр $CC_1$ на прямую $BO$, а из точки $C_1$ опущен перпендикуляр $C_1C_2$ на прямую $AB$. Прямые $B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в точке $A_3$. Аналогично определяются точки $B_3$ и $C_3$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $A_3B_3C_3$. ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2.  Даны семь различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться, что разность восьмых степеней любых двух из них делится на любое из оставшихся чисел? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Найдите наибольшее число $h$, удовлетворяющее следующему условию: для любого числа $a\in [0,h]$ и любого многочлена $P(x)$ степени 99, такого, что $P(0)=P(1)=0$, найдутся такие $x_1,x_2\in [0,1]$, что $P(x_1)=P(x_2)$ и $x_2-x_1=a$. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  Даны 10 различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться, что разность шестнадцатых степеней любых двух из них делится на любое из оставшихся чисел? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  Шесть членов команды Фаталии на Международной математической олимпиаде отбираются из 13 кандидатов. На отборочной олимпиаде кандидаты набрали $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{13}$ баллов ($a_i\ne a_j$ при $i\ne j$). Руководитель команды заранее выбрал 6 кандидатов и теперь хочет, чтобы в команду попали именно они. С этой целью он подбирает многочлен $P(x)$ и вычисляет творческий потенциал каждого кандидата по формуле $c_i=P(a_i)$. При каком минимальном $n$ он заведомо сможет подобрать такой многочлен $P(x)$ степени не выше $n$, что творческий потенциал любого из его шести кандидатов окажется строго больше, чем у каждого из семи оставшихся? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6.  Докажите, что существует такое положительное число $c$, что при любом натуральном $N$ среди любых $N$ натуральных чисел, не превосходящих $2N$, найдутся два числа, наибольший общий делитель которых больше $cN$. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  В клетках таблицы $6\times 6$ стоят квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Все их 108 коэффициентов — целые числа от $-60$ до $47$ (по одному разу). Докажите, что хотя бы в одном столбце сумма квадратных трехчленов имеет корень. ( К. Кохась, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8.  Множество $X$, состоящее из натуральных чисел, называется {\it симпатичным}, если для любых $a$, $b\in X$ ровно одно из чисел $a+b$ и $|a-b|$ принадлежит $X$ (числа $a$ и $b$ могут совпадать). Найдите количество симпатичных множеств, содержащих число 2008. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9.  В стране учатся $4^{9}$ школьников, живущих в четырех городах. В конце учебного года правительство провело ЕГЭ по 9 предметам, за каждый из которых каждый ученик получил 1 балл, 2 балла, 3 балла или 4 балла. Известно, что у любых двух учеников отметки хотя бы по одному предмету отличаются. При этом оказалось, что у любых двух учеников, живущих в одном городе, совпадают отметки хотя бы по одному предмету. Докажите, что найдется такой предмет, что у любых двух детей, живущих в одном городе, совпадают отметки именно по этому предмету. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №10.  Множество $X$, состоящее из натуральных чисел, называется симпатичным, если для любых $a$, $b\in X$ ровно одно из чисел $a+b$ и $|a-b|$ принадлежит $X$ (числа $a$ и $b$ могут совпадать). Найдите количество симпатичных множеств, содержащих число 2008. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада