Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур дистанционного этапа

Клетчатый прямоугольник $100\times 101$ (100 строк, 101 столбец) разбит на полоски $1\times 5$ так, что в каждом столбце содержится ровно $k$ вертикальных полосок. Чему может быть равно $k$? ( Ф. Петров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 20.
Решение. I Покрасим клетки 1-го, 6-го, 11-го, $\ldots,$ 101-го столбца в красный цвет, а клетки 2-го, 7-го, 12-го, $\ldots,$ 97-го столбца — в синий цвет. Красных столбцов на 1 больше, чем синих, а красных клеток на 100 больше, чем синих. Поскольку в каждом столбце находится ровно $k$ вертикальных полосок, красных вертикальных полосок ровно на $k$ больше, чем синих, и красных клеток в них занято на $5k$ больше, чем синих. А в каждой горизонтальной полоске поровну красных и синих клеток (по одной). Поэтому общее количество красных клеток на $5k$ больше общего количества синих. Таким образом, $100 = 5k,$ $k = 20.$

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.    
Решение. II Предположим, что $k < 20.$ Тогда в каждом столбце ровно $n = 100-5k$ клеток принадлежат горизонтальным полоскам. Заметим, что тогда в первом столбце начинаются ровно $n$ горизонтальных полосок, и клетки именно этих $n$ полосок присутствуют в столбцах со второго по пятый. Значит, клеток других горизонтальных полосок в них уже нет. Следовательно, ровно $n$ полосок начинаются в шестом столбце и занимают также столбцы с седьмого по десятый, и так далее. Таким образом, столбцы должны разбиваться на пятерки подряд идущих столбцов, что невозможно, ибо их количество 101 не делится на 5.