Областная олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс


Найдите все четверки натуральных чисел $\left(a,b,c,d\right)$, удовлетворяющие соотношению $a!+b!+c!=2^d$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2016-09-23 15:56:59.0 #

Б.О.О возьмем $a\ge b\ge c$. Тогда числа $\frac{a!}{c!}$ и $\frac{b!}{c!}$ - целые. И

$$c!(\frac{a!}{c!}+\frac{b!}{c!}+1)=2^d$$

Откуда сдедует, что $c<3$( иначе $3|2^d$) и $c+2>b$ ( иначе $\frac{a!}{c!}+\frac{b!}{c!}+1$-нечетное ).

1)Если $c=1$ тогда

А) $b=1$:

$a!+2=2^d$ откуда $a<4$....

B) $b=2$- невозможно при $a>1$.

2)Если $c=2$ тогда $b=1,2,3$

A)$b=1$: $a!+3=2^d$- откуда $a=1$

В) $b=2$: $a!+4=2^d$ откуда $a<4$...

C) $b=3$:

$a!+8=2^d$ следовательно $a<6$...

  1
2022-11-23 10:39:02.0 #

Ответ (1,1,2,2),(1,1,3,3),(2,3,4,5),(2,3,5,7)

И все их перестановки

Пусть $a\leq b \leq c$ заметим что если $a$,$b$ и $с$ одновременно больше 2 то каждый из $a!$,$b!$,$c!$ делиться на три то их сумма тоже но есть одна проблема правая часть не будет делиться на 3 поэтому $a$=1 $a$=2

Если a=1 то b!+c!=$2^d$-1 отсюда b=1 . Тогда с!=$2^d$-2 правое ну будет делиться на 4 значит $c\leq 3$ если 3 то d тоже если 2 то d тоже.

Если a=2 то число b!+c!=$2^d$-2 делиться на 2 но не делится на 4 следовательно b не больше 3 в случае b=2 c!=$2^d$-4 не имеет решений при $4\leq с$ разбираем 2 и 3 понимаем что нету тогда b=3 c!=$2^d$-8 не имеет решений при с=3 при с=4 получим d=5. При с=5 то d=7

При $6\leq с$ левая часть делиться на 16 а правая нет то значит $6\leq с$ таких с не существует