Областная олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Назовем натуральное число $\textit{специальным}$, если в его десятичной записи каждая пара последовательных цифр образует двузначное число, делящееся на 17 или на 43. Например, число 8685 является специальным, а число 8684 — нет. Найдите количество 2016-значных специальных чисел.
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Пусть $R$ — радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности, а $S$ — его площадь. Докажите, что если $S \geq R^2$, то треугольник $ABC$ не может быть тупоугольным.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  На окружности отмечены ${2n+1}$ различных точек, причем $n$ из них окрашены в синий цвет, $n$ точек — в красный, а одна — в черный. Докажите, что можно провести $n$ попарно непересекающихся отрезков с концами в этих точках так, чтобы ни одна точка не являлась концом более чем одного отрезка и чтобы никакой отрезок не соединял синюю и красную точки.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $BL$. Известно, что $KL$ — биссектриса угла $AKC$. Найдите величину угла $BAC$.
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Найдите все четверки натуральных чисел $\left(a,b,c,d\right)$, удовлетворяющие соотношению $a!+b!+c!=2^d$.
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Докажите, что для любых неотрицательных действительных чисел $x$, $y$ и $z$ справедливо неравенство $\sqrt {2{x^2} + 3{y^2} + 4{z^2}} + \sqrt {3{x^2} + 4{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {4{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \ge $ ${\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2}$
комментарий/решение(1)