Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының $BC$, $AC$, $AB$ қабырғаларының іштей сызылған шеңберімен жанасу нүктелерін сәйкесінше $A_1$, $B_1$, $C_1$ арқылы белгілейік. $BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ үшбұрыштарының ортоцентрлерін сәйкесінше $H_1$, $H_2$ нүктелері арқылы белгілейік. $BH_1H_2C$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$IB_1 \bot AC, C_1H_1 \bot AC \Rightarrow IB_1||C_1H_1; B_1H_1 \bot AB, IC_1 \bot AB \Rightarrow B_1H_1||IC_1$, то есть $IC_1H_1B_1$ - ромб. Так же $IA_1||B_1H_2, IB_1||A_1H_2$, тогда $IA_1H_2B_1$ - ромб. $IB_1=H_1B_1=H_2B_1$. $\angle BCA=2\gamma$. $\angle IH_1H_2=\angle A_1B_1H_2=90-B_1A_1C=90-(90-\gamma)=\gamma=\angle H_2CA$, тогда $AH_1H_2C$ - вписан.