Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс

Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$, а $I$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая $CI$ пересекает $\omega$ вторично в точке $P$. Пусть окружность с диаметром $IP$ пересекает $AI$, $BI$ и $\omega$ вторично в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Отрезки $KN$ и $AB$ пересекаются в точке $B_1$, а отрезки $KM$ и $AB$ — в точке $A_1$. Докажите, что $\angle ACB = \angle A_1IB_1$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     По лемме трезубца $PA=PI=PB$. Поэтому $M$ и $N$ середины отрезков $AI$ и $BI$ соответственно. Пусть $Q$ — середина дуги $ACB$ описанной окружности $\triangle ABC$. Если провести окружность с центром в точке $P$ радиусом $PI$, то прямые $QA$ и $QB$ будут касаться этой окружности. Пусть точка $J$ — симметрична точке $I$ относительно $K$. Тогда $J$ лежит на рассматриваемой окружности. Обозначим $KM \cap AQ=L$. Тогда $\angle IKL = \angle IJA = \angle IAL$. Следовательно, четырехугольник $ALIK$ вписанный. Имеем: $\angle ILQ = \angle AKQ = \angle ABQ = \angle BAQ$, то есть $IL \parallel AB$, откуда немедленно следует, что $ALIA_1$ — параллелограмм. Значит, $\angle A_1IK = \angle AQK$. Аналогично, $\angle B_1IK= \angle BQK$. Поэтому $\angle A_1IB_1 = \angle AQB = \angle ACB$.

По лемме о трезубце $$PA=PI=PB$$

из условия $PM\bot AI$ откуда $$\angle IPM=\frac{\angle IPA}{2}=\frac{\angle ABC}{2}=\angle ABI=\angle A_1BI$$ из того, что $IMKP$- вписанный следует,что $$\angle IKA_1=\angle IKM=\angle IPM$$ поэтому $$\angle IKA_1=\angle IBA_1$$

откуда $IBKA_1$- вписанный, следовательно $$\angle A_1IK=\angle A_1BK$$ аналогично $$\angle B_1IK=\angle B_1AK$$

из двух последних равенств получаем, что $$\angle A_1IB_1=\angle B_1AK+\angle A_1BK=\angle ACB$$