М. Кунгожин

Задача №1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ точка $H$ — середина основания $AB$, $M$ — середина отрезка $BH$. Пусть $HK$ — высота треугольника $ACH$, а прямые $CM$ и $BK$ пересекаются в точке $L$. Перпендикуляр к прямой $BC$ в точке $B$ и прямая $LH$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что угол $BCN$ в два раза меньше угла $ACB.$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $A_1$ и $B_1$, а вневписанная окружность, соответствующая стороне $AB$, касается продолжении этих сторон в точках $A_2$ и $B_2$ соответственно. Пусть вписанная в $\triangle ABC$ окружность касается стороны $AB$ в точке $K$. Обозначим через $O_a$ и $O_b$ центры описанных около треугольников $A_1A_2K$ и $B_1B_2K$ окружностей. Докажите, что прямая $O_aO_b$ проходит через середину отрезка $AB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$, а $I$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая $CI$ пересекает $\omega$ вторично в точке $P$. Пусть окружность с диаметром $IP$ пересекает $AI$, $BI$ и $\omega$ вторично в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Отрезки $KN$ и $AB$ пересекаются в точке $B_1$, а отрезки $KM$ и $AB$ — в точке $A_1$. Докажите, что $\angle ACB = \angle A_1IB_1$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №4. В треугольнике $ABC$ из наибольшего угла $C$ проведена высота $CH$. Отрезки $HM$ и $HN$ — высоты треугольников $ACH$ и $BCH$ соответственно, а $HP$ и $HQ$ — биссектрисы треугольников $AMH$ и $BNH$. Пусть точка $R$ — основание перпендикуляра из точки $H$ на прямую $PQ$. Докажите, что $R$ — точка пересечения биссектрис треугольника $MNH$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$, а $I$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая $CI$ пересекает $\omega$ вторично в точке $P$. Пусть окружность с диаметром $IP$ пересекает $AI$, $BI$ и $\omega$ вторично в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Отрезки $KN$ и $AB$ пересекаются в точке $B_1$, а отрезки $KM$ и $AB$ — в точке $A_1$. Докажите, что $\angle ACB = \angle A_1IB_1$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №6. В треугольнике $ABC$ точка $N$ — основание биссектрисы угла $C$, точка $M$ — середина стороны $AB$, а $\omega$ — описанная около него окружность. Прямая $CN$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $D$. На отрезках $AD$ и $BD$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, так, что $\angle ACK=\angle BCL$. Пусть описанные окружности треугольников $ACK$ и $BCL$ во второй раз пересекаются в точке $P$, а $Q$ — точка пересечения прямых $DM$ и $ KL$. Докажите, что точки $M,N,P, Q$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №7. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точки $K$ и $M$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Отрезки $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $N$, а отрезки $KD$ и $CM$ — в точке $ L$. Оказалось, что полученный четырехугольник $KLMN$ — вписанный. Пусть описанные окружности треугольников $BNK$ и $AMN$ во второй раз пересекаются в точке $Q$, а описанные окружности треугольников $KLC$ и $DML$ — в точке $P$. Докажите, что у четырехугольников $KLMN$ и $KPMQ$ площади равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №8. Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, отрезки $AB$ и $CD$ — общие внешние касательные к ним (точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ — на $\omega_2$). Прямая $AD$ во второй раз пересекает окружность $\omega_1$ в точке $P$, а окружность $\omega_2$ в точке — $Q$. Пусть касательная к $\omega_1$ в точке $P$ пересекает $AB$ в точке $R$, а касательная к $\omega_2$ в точке $Q$ пересекает $CD$ в точке $S$. $M$ — середина отрезка $RS$. Докажите, что $MP=MQ$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №9. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABC$, пересекает стороны $AD$ и $DC$, параллелограмма $ABCD$, во второй раз в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. Обозначим через $E$ точку пересечения прямых $AC$ и $A_1C_1$. Пусть $BF$ — диаметр $\omega$, а точка $O_1$ симметрична центру $\omega$ относительно $AC$. Докажите, что прямые $FO_1$ и $DE$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №10. В треугольнике $ABC$ точка $N$ — основание биссектрисы угла $B$, а точка $M$ — середина стороны $AC$. На отрезке $BN$ нашлись точки $A_1$ и $C_1$ такие, что $NA=NA_1$ и $NC=NC_1$. Прямые $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $E$. Прямая $ME$ пересекает отрезок $BC$ в точке $F$. Докажите равенство $AB+BF=CF$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №11. Вписанная и вневписанная окружности прямоугольного треугольника $ABC$, в котором угол $C$ прямой, касаются стороны $BC$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$. Докажите, что отрезки ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ и ${{B}_{1}}{{A}_{2}}$ пересекаются на высоте проведённой из вершины $C$ треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №12. В неравнобедренном треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно, а вневписанная окружность (касающаяся стороны $AC$) — соответственно в точках $C_2$ и $A_2$. Точка $N$ — основание биссектрисы из вершины $B$. Прямая $A_1C_1$ пересекают прямую $AC$ в точке $K_1$. Пусть описанная окружности треугольника $BK_1N$ повторно пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $P_1$. Аналогично определим точки $K_2$ и $P_2$. Докажите, что $AP_1 = CP_2$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №13. Около неравнобедренного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$, точка $M$ — середина $AC$. Касательная к $\omega$ в точке $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $N$, а прямая $BM$ повторно пересекает $\omega$ в точке $L$. Пусть точка $P$ симметрична точке $L$ относительно $M$. Окружность, описанная около треугольника $BPN$, повторно пересекает прямую $AN$ в точке $Q$. Докажите, что $\angle ABP = \angle QBC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(9) олимпиада

Задача №14. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ справедливы следующие соотношения: $AB=BC$, $AD=BD$ и $\angle ADB = 2 \angle BDC$. Известно, что $\angle ACD = 100^\circ$. Найдите $\angle ADC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №15. Дан треугольник $ABC$. Пусть вписанная в него окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. Известно, что выполняется равенство $1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$. Докажите, что отрезок $CC_1$ делится вписанной окружностью в отношении $1:2$ считая от вершины $C$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №16. Дан треугольник $ABC$, около которого описана окружность с центром $O$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а точки $A_1$ ($A\neq A_1$) и $B_1$ ($B\neq B_1$) на описанной окружности такие, что угол $\angle IA_1B=\angle IA_1C$ и $\angle IB_1A=\angle IB_1C$. Докажите, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются на прямой $OI$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №17. Дан треугольник $ABC$. Пусть вписанная в него окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. Известно, что выполняется равенство $1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$. Докажите, что отрезок $CC_1$ делится вписанной окружностью в отношении $1:2$ считая от вершины $C$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №18. Пусть диагонали вписанного выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а продолжение противоположных сторон $AB$ и $CD$ в точке $K$. Точки $M$ и $N$ на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно такие, что выполняется равенство $AM/MB = CN/ND$. Пусть $MN$ пересекает диагонали $ABCD$ в точках $Q$ и $R$. Докажите, что описанные окружности треугольников $PRQ$ и $KMN$ касаются, причем в фиксированной точке плоскости. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №19. Дан треугольник $ABC$, около которого описана окружность с центром $O$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а точки $A_1$ ($A\neq A_1$) и $B_1$ ($B\neq B_1$) на описанной окружности такие, что угол $\angle IA_1B=\angle IA_1C$ и $\angle IB_1A=\angle IB_1C$. Докажите, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются на прямой $OI$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №20. Пусть $\omega$ — описанная окружность треугольника $ABC$ с тупым углом $C$ а $C'$ симметричная точка точке $C$ относительно $AB$. $M$ — середина $AB$. $C'M$ пересекает $\omega$ в точке $N$ ($C'$ между $M$ и $N$). Пусть $BC'$ вторично пересекает $\omega$ в точке $F$, а $AC'$ вторично пересекает $w$ в точке $E$. $K$ — середина $EF$. Докажите что прямые $AB$, $CN$ и $KC'$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №21. Вокруг остроугольного треугольника $ABC$ ($AC>CB$) описана окружность, а точка $N$ — середина дуги $ACB$ этой окружности. Пусть точки $A_1$ и $B_1$ — основания перпендикуляров на прямую $NC$, проведенные из точек $A$ и $B$ соответственно (отрезок $NC$ лежит внутри отрезка $A_1B_1$). Высота $A_1A_2$ треугольника $A_1AC$ и высота $B_1B_2$ треугольника $B_1BC$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $\angle A_1KN=\angle B_1KM$, где $M$ — середина отрезка $A_2B_2$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №22. Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности $\omega$, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $S$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Прямая $HA$ пересекает прямые $CM$ и $CS$ в точках $M_a$ и $S_a$ соответственно. Аналогично определены точки $M_b$ и $S_b$. Докажите, что $M_a S_b$ и $M_b S_a$ — высоты треугольника $M_a M_b H$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №23. Окружность с центром $I$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $A_1$ и $B_1$, соответственно. На лучах $A_1I$ и $B_1I$, соответственно, взяты точки $A_2$ и $B_2$ такие, что $IA_2=IB_2=R$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что
a) $AA_2 = BB_2 = OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$;
b) прямые $AA_2$ и $BB_2$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №24. Окружности $\omega$ и $\Omega$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Пусть $M$ — середина дуги $AB$ окружности $\omega$ ($M$ лежит внутри $\Omega$). Хорда $MP$ окружности $\omega$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$ ($Q$ лежит внутри $\omega$). Пусть $\ell_P$ — касательная к окружности $\omega$ в точке $P$, а $\ell_Q$ — касательная к окружности $\Omega$ в точке $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых $\ell_P$, $\ell_Q$ и $AB$, касается $\Omega$. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №25. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $BE$. Биссектриса угла $BEC$ пересекает прямую $AD$ в точке $M$, а биссектриса угла $ADC$ пересекает $BE$ в точке $N$. Докажите, что $MN \parallel AB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №26. В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $H$ — его ортоцентр, $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CH$. Пусть прямые $AN$ и $CM$ пересеклись в точке $L$. Доказать, что $\angle L{{A}_{1}}C =\angle ABH$, где ${{A}_{1}}$ — основание высоты из вершины $A$ треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №27. Окружность $\omega$ описана около четырехугольника $ABCD$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $L$. Прямая, проходящая через центр окружности $\omega$ и перпендикулярная $KL$, пересекает прямые $KL$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что прямые $QL$, $BP$ и $KR$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Задача №28. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK$. Касательная в точке $K$ к окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABK$, пересекает сторону $BC$ в точке $L$. Прямая $AL$ пересекает $\omega$ в точке $M$. Докажите, что прямая $BM$ проходит через середину отрезка $ KL$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №29. Дан произвольный квадратный трехчлен $f$ с действительными коэффициентами. Существуют ли числа $({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ — последовательные члены арифметической прогрессии такие, что все члены набора $F=\{f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),\ldots ,f({{x}_{n}})\}$ в каком-то порядке также являются последовательными членами арифметической прогрессии (с ненулевыми разностями) если: а) $n=3$; б) $n=4$? ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Задача №30. К окружности $\omega $ с центром $O$ из точки $S$ проведены касательные $SA$ и $SB$. Точки $C$ и $C'$ на окружности $\omega $ такие, что $AC \parallel OB$ и $CC'$ является диаметром $\omega $. Пусть прямые $BC$ и $SA$ пересекаются в точке $K$, а прямые $KC'$ и $AC$ в точке $M$. Докажите, что в треугольнике $MKC$ высота из вершины $M$ делит высоту из вершины $C$ пополам, если угол $BMK$ прямой. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Задача №31. На координатной плоскости $xOy$ нарисована парабола $y={{x}^{2}}$. Пусть $A$, $B$ и $C$ различные точки этой параболы. Определим точку ${{A}_{1}}$, как точку пересечения прямой $BC$ и оси $Oy$. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Доказать, что сумма расстоянии от точек $A$, $B$ и $C$ до оси $Ox$ больше суммы расстоянии от точек ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ до оси $Ox$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №32. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(BC=AC)$ на биссектрисе $BN$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=KC$ и $KN=NA$. Найдите углы треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №33. Пусть дано натуральное число $n$, а $m$ — целое число из множества $\{0,\text{ }1,\text{ }...\text{ },\text{ }{{n}^{2}}-1\}$ такое, что число ${{x}^{n}}+{{y}^{n}}-m$ не делится на ${{n}^{2}}$ ни при каких целых $x$ и $y$. Докажите, что количество таких $m$ не меньше $\frac{n(n-1)}{2}$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №34. Неравнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega $. Пусть $H$ — точка пересечения высот этого треугольника, а $M$ — середина стороны $AB$. На дуге $AB$ окружности $\omega $, не содержащей точку $C$, взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $\angle ACP=\angle BCQ<\angle ACQ$. Пусть $R$ и $S$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $H$ на прямые $CQ$ и $CP$ соответственно. Докажите, что точки $P$, $Q$, $R$ и $S$ лежат на одной окружности, а точка $M$ является центром этой окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №35. На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены прямоугольники равных площадей $ABLK$, $BCNM$ и $CAQP$. Пусть $X$, $Y$ и $Z$ середины отрезков $KQ$, $LM$ и $NP$ соответственно. Докажите, что прямые $AX$, $BY$ и $CZ$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №36. Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром $O$. Продолжение биссектрисы $CN$ пересекает $\omega$ в точке $M$. Пусть $MK$ — высота треугольника $BCM$, $P$ — середина отрезка $CM$, а $Q$ — точка пересечения прямых $OP$ и $AB$. Пусть прямая $MQ$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $R$, а $T$ — точка пересечения прямых $BR$ и $MK$. Докажите, что $NT \parallel PK$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №37. Остроугольный треугольник $ABC$ $(AC > BC)$ вписан в окружность с центром в точке $O$, а $CD$ — диаметр этой окружности. На продолжении луча $DA$ за точку $A$ взята точка $K$, а на отрезке $BD$ точка $L$ $(DL > LB)$ так, что $\angle OKD = \angle BAC$, $\angle OLD = \angle ABC$. Докажите, что прямая $KL$ проходит через середину отрезка $AB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №38. Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательная к этой окружности в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть биссектриса угла $CDB$ пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. На стороне $AB$ взята точка $M$ такая, что $AK/BL=AM/BM$. Пусть перпендикуляры из точки $M$ к прямым $KL$ и $DC$ пересекают прямые $AC$ и $DC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что угол $CQP$ в два раза меньше угла $ACB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №39. Остроугольный треугольник $ABC$ $(AC > BC)$ вписан в окружность с центром в точке $O$, а $CD$ — диаметр этой окружности. На продолжении луча $DA$ за точку $A$ взята точка $K$, а на отрезке $BD$ точка $L$ $(DL > LB)$ так, что $\angle OKD = \angle BAC$, $\angle OLD = \angle ABC$. Докажите, что прямая $KL$ проходит через середину отрезка $AB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №40. Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Точки $K$ и $N$ лежат на стороне $AC$, а точки $M$ и $L$ на стороне $BC$ так, что $AN=CK=CL=BM.$ Пусть отрезки $KL$ и $MN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $\angle RPN = \angle QPK$, где $R$ — середина стороны $AB$, а $Q$ — середина дуги $ACB$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №41. В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ на катетах $AC$ и $BC$ взяты соответственно точки $K$ и $L$ так, что $AK/KC=4/1$ и $CL/BL=3/2$. Пусть $KML$ также равнобедренный прямоугольный треугольник, а $O$ — середина его гипотенузы $MK$. Докажите, что точка $O$ лежит на внешней или на внутренней биссектрисе угла $ACB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №42. К окружности с центром в точке $O$ из точки $S$ проведены касательные $SA$ и $SB$. На окружности выбрана точка $C$, отличная от точки $A$, таким образом, что прямые $AC$ и $SO$ параллельны. Докажите, что точка $O$ лежит на прямой $BC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №43. Натуральное число $n$ при делении на 3 дает остаток 1, а также количество его различных натуральных делителей, дающие при делении на 3 остаток 1, нечетно. Приведите пример такого числа $n$, у которого не менее 2017 различных натуральных делителей. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №44. Даны $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$, а $I$ — центр вписанной окружности. Определим точку ${{A}_{1}}$ как точку, симметричную точке $I$ относительно серединного перпендикуляра отрезка $BC$. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Докажите, что треугольники $ABC$ и ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ подобны, и найдите коэффициент подобия. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №45. К окружности с центром в точке $O$ из точки $A$ проведена касательная $AB$. Точка $C$ лежит на окружности, отлична от точки $B$ и $AO\parallel BC$. Пусть $ABCD$ параллелограмм, и $M$ — точка пересечения его диагоналей. Докажите, что $AB=2MO$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №46. Пусть ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ — перестановка цифр $0,1,\ldots ,9$ и $M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$. Чему может равняться максимальное и минимальное значение $M$. Для каждого найденного ответа приведите пример. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №47. Дан треугольник $ABC$ с углами $\angle A=40{}^\circ $ и $\angle B=80{}^\circ $. На отрезке $AB$ взяты точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между точками $A$ и $L$) такие что $AK=BL$ и $\angle KCL=30{}^\circ $. Найдите угол $LCB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №48. Известно, что для чисел $a,b,x,y$ выполнено неравенство ${{(ab)}^{3}}+{{(xy)}^{3}}\ge {{(ax)}^{3}}+{{(by)}^{3}}$. Докажите, что для этих же чисел выполнено неравенство $ab+xy\ge ax+by$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №49. На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ соответственно взяты точки $N$, $K$ и $L$ так, что $AL=BK$ и $CN$ -- биссектриса угла $C$. Отрезки $AK$ и $BL$ пересекаются в точке $P$. Обозначим через $I$ и $J$ центры вписанных окружностей треугольников $APL$ и $BPK$ соответственно. Пусть $Q$ -- точка пересечения прямых $CN$ и $IJ$. Докажите, что $IP=JQ$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №50. Дан параллелограмм $ABCD$. Некоторая окружность проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $BD$ и $AC$ во второй раз соответственно в точках $X$ и $Y$, а описанная окружность треугольника $ADX$ пересекает отрезок $AC$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что отрезки $AY$ и $CZ$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №51. Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) пересекаются в точке $K$. На прямой $AD$ отмечены точки $L$ и $M$ так, что $A$ лежит на отрезке $LD$, $D$ лежит на отрезке $AM$, $AL=AK$ и $DM=DK$. Докажите, что прямые $CL$ и $BM$ пересекаются на биссектрисе угла $BKC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №52. В равнобокой трапеции $ABCD$ точка $O$ — середина основания $AD$. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $BO$ касается прямой $AB$. Пусть отрезок $AC$ пересекает эту окружность в точке $K$ ($C \ne K$), и пусть $M$ такая точка, что $ABCM$ — параллелограмм. Описанная окружность треугольника $CMD$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$ $(L \ne C)$. Докажите, что $AK=CL$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №53. На боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$ нашлась точка $M$ такая, что $BM=BC$. Пусть прямые $BM$ и $AC$ пересекаются в точке $K$, а прямые $DK$ и $BC$ — в точке $L$. Докажите, что углы $BML$ и $DAM$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №54. Диагонали вписанного выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $\ell$ — прямая, делящая угол $AOB$ пополам. Обозначим через $(\ell_1,\ell_2,\ell_3)$ невырожденный треугольник, образованный прямыми $\ell_1,\ell_2,\ell_3$. Пусть $\Delta_1=(\ell,AB,CD)$ и $\Delta_2=(\ell,AD,BC)$. Докажите, что описанные окружности треугольников $\Delta_1$ и $\Delta_2$ касаются друг друга. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №55. В остроугольном треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ соответственно взяты точки $H$, $L$, $K$ так, что $CH \perp AB$, $HL \parallel AC$, $HK \parallel BC$. Пусть $P$ и $Q$ — основания высот треугольника $HBL$, проведенные из вершин $H$ и $B$ соответственно. Докажите, что основания высот треугольника $AKH$, проведенные из вершин $A$ и $H$, лежат на прямой $PQ$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №56. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $N$. На лучах $CA$ и $CB$ соответственно отмечены точки $P$ и $Q$ так, что $PM \parallel BN$ и $QM \parallel AN$. На отрезках $PM$ и $QM$ соответственно отмечены точки $X$ и $Y$ так, что прямые $PY$ и $QX$ касаются $\omega$. Отрезки $PY$ и $QX$ пересекаются в точке $Z$. Докажите, что четырехугольник $MXZY$ описанный. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №57. Для неотрицательных чисел $x$, $y$ докажите неравенство $\sqrt{x^{2}-x+1}\sqrt{y^{2}-y+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}\sqrt{y^{2}+y+1}\geq 2(x+y).$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7) олимпиада

Задача №58. Дан вписанный выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Окружность с центром в точке $E$ и радиусом $AE$ пересекает отрезки $AC$ и $AD$ в $X$ и $Y$ соответственно, а окружность с центром в точке $C$ радиусом $BC$ пересекает отрезки $BE$ и $BD$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Прямые $XY$ и $ZT$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что $DF$ и $EC$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №59. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ симметрична точке $C$ относительно гипотенузы $AB$. Пусть $M$ — произвольная точка отрезка $AC$, а $P$ — основание перпендикуляра из точки $C$ на прямую $BM$. Точка $H$ — середина отрезка $CD$. На отрезке $CH$ (внутри угла $HPB$) нашлась такая точка $N$ , что $\angle DPH = \angle NPB$. Докажите, что точки $M$, $P$, $N$ и $D$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №60. Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На отрезке $C_1H$, где $CC_1$ — высота треугольника, отмечена точка $K$. Точки $L$ и $M$ — основания перпендикуляров из точки $K$ на прямые $AC$ и $BC$ соответственно. Прямые $AM$ и $BL$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что $\angle ANK=\angle HNL$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №61. На отрезке $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Пусть $I$, $K$, $L$ — соответственно центры вписанных окружностей $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ треугольников $ABC$, $ABM$, $ACM$. Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_2$ и $\omega_3$, отличная от прямой $BC$, пересекает отрезок $AM$ в точке $J$. Известно, что точки $I$ и $J$ не совпадают и лежат внутри $\triangle AKL$. Докажите, что в треугольнике $AKL$ точки $I$ и $J$ изогонально сопряжены. (Внутренние точки $P$ и $P'$ треугольника $ABC$ называются изогонально сопряжёнными, если $\angle ABP=\angle CBP'$, $\angle BAP = \angle CAP'$, $\angle BCP=\angle ACP'$.) ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №62. В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $CN$ — биссектриса. Прямая $CN$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $M$. Прямая $\ell$ параллельна прямой $AB$ и касается вписанной окружности треугольника $ABC$. Точка $R$ на прямой $\ell$ такова, что $CI \perp IR$. Описанная окружность треугольника $MNR$ вторично пересекает прямую $IR$ в точке $S$. Докажите, что $AS=BS$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №63. На медиане $CM$ треугольника $ABC$ отмечена точка $N$ так, что $MN \cdot MC = AB^2/4$. Прямые $AN$ и $BN$ вторично пересекают описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. $R$ — точка отрезка $PQ$, ближайшая к $Q$, такая что $\angle NRC = \angle BNC$; $S$ — точка отрезка $PQ$, ближайшая к $P$, такая что $\angle NSC = \angle ANC$. Докажите, что $RN = SN$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №64. На медиане $CM$ треугольника $ABC$ отмечена точка $N$ так, что $MN \cdot MC = AB^2/4$. Прямые $AN$ и $BN$ вторично пересекают описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. $R$ — точка отрезка $PQ$, ближайшая к $Q$, такая что $\angle NRC = \angle BNC$; $S$ — точка отрезка $PQ$, ближайшая к $P$, такая что $\angle NSC = \angle ANC$. Докажите, что $RN = SN$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №65. Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. На сторонах $AB, BC, CA$ отмечены точки $K, L, M$, соответственно, причем $CM \cdot CL = AM \cdot BL$. Луч $LK$ пересекает прямую $AC$ в точке $P$. Общая хорда окружности $\omega$ и описанной окружности треугольника $ KMP$ пересекает отрезок $AM$ в точке $S$. Докажите, что $SK \parallel BC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №66. Дан выпуклый вписанный шестиугольник $ABCDEF$, в котором $BC=EF$ и $CD=AF$. Диагонали $AC$ и $BF$ пересекаются в точке $Q$, а диагонали $EC$ и $DF$ — в точке $P$. На отрезках $DF$ и $BF$ отмечены точки $R$ и $S$ соответственно так, что $FR=PD$ и $BQ=FS$. Отрезки $RQ$ и $PS$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что прямая $TC$ делит диагональ $DB$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №67. В треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ на катете $BC$ отмечены точки $K$ и $L$ такие, что $\angle CAK = \angle KAL = \angle LAB.$ На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что $ML = KL.$ Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №68. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ взята точка $K$, а на стороне $AC$ взята точка $L$ таким образом, что $\angle ACB+\angle AKL=50{}^\circ $ и $\angle ABC+\angle ALK=70{}^\circ $. Чему может равняться угол $BAC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №69. Диагонали трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ пересекаются в точке $K.$ Внутри треугольника $ABK$ нашлась такая точка $M,$ что $\angle MBC = \angle MAD,$ $\angle MCB = \angle MDA.$ Докажите, что прямая $MK$ параллельна основаниям трапеции. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №70. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а диагонали $AC$ и $BD$ — в точке $Q$. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BCQ$ и $MNQ$ пересекаются в точке $T$ ($T\ne Q$). Докажите, что если $\angle APD =90^\circ$, то прямая $PT$ делит отрезок $MN$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №71. Треугольник $ABC$ ($AC > BC$) вписан в окружность $\omega$. Биссектриса $CN$ этого треугольника пересекает $\omega$ в точке $M$ ($M\ne C$). На отрезке $BN$ отмечена произвольная точка $T$. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $MNT$. Описанная окружность треугольника $MNH$ пересекает $\omega$ в точке $R$ ($R\ne M$). Докажите, что $\angle ACT = \angle BCR$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №72. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ нашлась такая точка $D$, что $BC=DC$. Пусть $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABD$. Докажите, что одна из касательных из точки $J$ ко вписанной окружности треугольника $ABC$ параллельна прямой $BD$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №73. В треугольнике $ABC$, точка $M$ — середина стороны $AB$. На отрезке $AC$ отмечена точка $B_1$ такая, что $CB = CB_1$. Окружности $\omega$ и $\omega_1$, описанные около треугольников $ABC$ и $BMB_1$, соответственно, пересекаются во второй раз в точке $K$. Точка $Q$ — середина дуги $ACB$ окружности $\omega$. Прямые $B_1Q$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что прямая $KC$ делит отрезок $B_1E$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №74. В окружности $\omega$ диаметр $AB$ и хорда $CD$ перпендикулярны. Пусть $M$ любая точка отрезка $AC$. Точка $P$ -- основание перпендикуляра из точки $C$ на прямую $BM$. Пусть окружность $\omega_1$, описанная около треугольника $MPD$, пересекает описанную окружность треугольника $CPB$ во второй раз в точке $Q$ (точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от прямой $AB$). Прямая $CD$ вторично пересекает $\omega_1$ в точке $N$. Докажите, что $\angle CQN = \angle BPN$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №75. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с тупым углом $C$. Точка $K$ взята на продолжении стороны $AC$ (за точку $C$) так, что $\angle KBC = \angle ABC$. Обозначим через $S$ точку пересечения биссектрис углов $\angle BKC$ и $\angle ACB$. Прямые $AB$ и $KS$ пересекаются в точке $L$, прямые $BS$ и $CL$ — в точке $M$. Докажите, что прямая $KM$ проходит через середину отрезка $BC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №76. В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $A$ на отрезке $AD$ отмечена точка $N$, а на отрезке $CN$ — точка $M$ так, что $AB=BM=CM$. Точка $K$ симметрична точке $N$ относительно прямой $MD$. Прямая $MK$ пересекает отрезок $AD$ в точке $L$. Пусть $P$ — общая точка описанных окружностей треугольников $AMD$ и $CNK$, причем точки $A$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $MK$. Докажите, что $\angle CPM=\angle DPL$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №77. В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, а $I$ — центр вписанной окружности. Точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BI$, а точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AI$. Пусть $N$ — середина отрезка $A_1B_1$. Докажите, что $IN > IM$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №78. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ с углом в $100 ^\circ$ при вершине $C$ взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $AP = BC$ и $BQ = AC$. Пусть $M$, $N$, $K$ — середины отрезков $AB$, $CP$, $CQ$ соответственно. Найдите угол $NMK$. ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №79. В окружность $\omega$ вписан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $K$. На диагонали $BD$ отмечена точка $L$ так, что $\angle BAC = \angle DAL$. На отрезке $KL$ отметили точку $M$ так, что $CM \parallel BD$. Докажите, что прямая $BM$ касается окружности $\omega$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №80. Касательная в точке $C$ к окружности $\Omega$, описанной около неравнобедренного треугольника $ABC$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена прямая, пересекающая отрезки $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. На отрезке $AB$ отметили точки $M$ и $N$ так, что ${AC \parallel NL}$ и ${BC \parallel KM}$. Пусть $NL$ и $KM$ пересеклись в точке $P$, лежащей внутри треугольника $ABC$. Прямая $CP$ во второй раз пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $MNP$, в точке $Q$. Докажите, что прямая $DQ$ касается $\omega$. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №81. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $M$, а продолжений сторон $AC$ и $BC$ — в точках $N$ и $K$ соответственно. На отрезке $NK$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AN=AP$ и $BK=BQ$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $MPQ$ равен радиусу вписанной окружности треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №82. В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан такой треугольник $ABC$, в котором $\angle C > 90^\circ$ и $AC>BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $AOB$. Прямые $OD$ и $AC$ повторно пересекают $\Omega$ в точках $E$ и $F$ соотвественно. Прямые $OF$ и $CE$ пересекаются в точке $T$, а прямые $OD$ и $BC$ — в точке $K$. Докажите, что точки $O$, $T$, $B$, $K$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №83. В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан такой треугольник $ABC$, в котором $\angle C > 90^\circ$ и $AC>BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $AOB$. Прямые $OD$ и $AC$ повторно пересекают $\Omega$ в точках $E$ и $F$ соотвественно. Прямые $OF$ и $CE$ пересекаются в точке $T$, а прямые $OD$ и $BC$ — в точке $K$. Докажите, что точки $O$, $T$, $B$, $K$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №84. Окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Линия центров этих окружностей пересекает $\Omega$ и $\Gamma$ в точках $P$ и $Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $AB$, причём точка $Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от $AB$ взята окружность $\delta$, касающаяся отрезка $AB$ в точке $D$ и $\Gamma$ в точке $T$. Прямая $PD$ вторично пересекает $\delta$ и $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle QTK=\angle DTL$. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №85. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ проходит через точки $A$ и $B$, и касается прямой $AC$. Пусть $BE$ — диаметр $\Omega$. Прямые $BH$ и $AH$ во второй раз пересекают $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $EK$ и $AB$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что $\angle BDK=\angle BLT$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №86. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ проходит через точки $A$ и $B$, и касается прямой $AC$. Пусть $BE$ — диаметр $\Omega$. Прямые $BH$ и $AH$ во второй раз пересекают $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $EK$ и $AB$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что $\angle BDK=\angle BLT$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада