Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2017 год


Задача №1.  В таблице $3\times 3$ расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате $2\times 2$ равно 2. Какое число стоит в центре?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Известно, что для чисел $a,b,x,y$ выполнено неравенство ${{(ab)}^{3}}+{{(xy)}^{3}}\ge {{(ax)}^{3}}+{{(by)}^{3}}$. Докажите, что для этих же чисел выполнено неравенство $ab+xy\ge ax+by$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №3.  К окружности с центром в точке $O$ из точки $A$ проведена касательная $AB$. Точка $C$ лежит на окружности, отлична от точки $B$ и $AO\parallel BC$. Пусть $ABCD$ параллелограмм, и $M$ — точка пересечения его диагоналей. Докажите, что $AB=2MO$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Назовем натуральное число абсолютно простым, если произвольно переставляя его цифры, мы будем всегда получать простое число. Например, число 113 абсолютно простое (113, 131, 311 - все простые). Докажите, что не существует абсолютно простого числа, десятичная запись которого содержит все цифры 1, 3, 7, 9. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Пусть ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ — перестановка цифр $0,1,\ldots ,9$ и $M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$. Чему может равняться максимальное и минимальное значение $M$. Для каждого найденного ответа приведите пример. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Даны числа 1, 2, $\ldots$, 299, 300. Какое наибольшее количество из них можно выбрать и расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы получилась последовательность чисел, удовлетворяющая двум условиям:
1) сумма любых четырех подряд идущих чисел не делится на 3;
2) сумма любых пяти подряд идущих чисел делится на 3?
комментарий/решение(1)
Задача №7.  В стране есть $2n$ городов. Известно, что среди любых трех городов найдутся два, которые не соединены прямой дорогой. Найдите максимальное количество дорог в этой стране.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Дан треугольник $ABC$ с углами $\angle A=40{}^\circ $ и $\angle B=80{}^\circ $. На отрезке $AB$ взяты точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между точками $A$ и $L$) такие что $AK=BL$ и $\angle KCL=30{}^\circ $. Найдите угол $LCB$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)