16-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2020 год


В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $CN$ — биссектриса. Прямая $CN$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $M$. Прямая $\ell$ параллельна прямой $AB$ и касается вписанной окружности треугольника $ABC$. Точка $R$ на прямой $\ell$ такова, что $CI \perp IR$. Описанная окружность треугольника $MNR$ вторично пересекает прямую $IR$ в точке $S$. Докажите, что $AS=BS$. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Напомним, что ориентированным углом между прямыми $n$ и $m$ называется такой угол, на который нужно против часовой стрелки повернуть прямую $n,$ чтобы она стала параллельна прямой $m.$ Обозначается ориентированный угол через $\angle (n, m).$ Проведем из точки $N$ касательную прямую $d$, отличную от $AB$, ко вписанной окружности $\triangle ABC$. Тогда $\angle (\ell,CI)=\angle (NB,NI)=\angle (NI,d)$. Так как $CI \perp IR$, то в силу симметрии относительно прямой $IR$ прямая $d$ проходит через точку $R$. Пусть прямые $MS$ и $\ell$ пересекаются в точке $T$. Тогда $\angle (MN,MS)=\angle (RN,RS)=\angle (RS,RT)$, то есть точки $R,$ $T$, $I$, $M$ лежат на одной окружности. Поэтому из $\angle (RI,MI)=90^\circ$, следует $\angle (RT,MT)=90^\circ$. Значит, $MS \perp AB$. Но, так как $M$ лежит на серединном перпендикуляре отрезка $AB$, то и $S$ также лежит на нем. Следовательно, $AS=BS $.