Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2010 год


Задача №1.  Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — арифметическая прогрессия целых чисел такая, что $a_i$ делится на $i$ для всех $i=1, 2, \dots , n-1$ и $a_n$ не делится на $n$. Докажите, что $n$ — степень простого числа. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
Задача №2.  Все 8 участников шахматного турнира набрали разное количество очков. Известно, что второй призер набрал столько же очко, сколько вместе 4 последних шахматиста. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие 3 и 7 места? (В шахматах победа = 1 очко, ничья = 1/2 очка, поражение = 0 очков. Турнир проводится в один круг, каждый участник играет по одному разу со всеми остальными).
комментарий/решение
Задача №3. Окружность $\omega$ описана около четырехугольника $ABCD$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $L$. Прямая, проходящая через центр окружности $\omega$ и перпендикулярная $KL$, пересекает прямые $KL$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что прямые $QL$, $BP$ и $KR$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK$. Касательная в точке $K$ к окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABK$, пересекает сторону $BC$ в точке $L$. Прямая $AL$ пересекает $\omega$ в точке $M$. Докажите, что прямая $BM$ проходит через середину отрезка $ KL$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение
Задача №5.  Для действительных чисел $x, y, z \in (0;1)$ известно, что $8xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$. Докажите, что $x+y+z \geq 1$. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
Задача №6.  Кузнечик стоит на координатной оси в точке с координатой 0. На каждом шагу ему разрешается прыгнуть из точки с координатой $x$ в точку с координатой $x + 1$, либо в точку с координатой $2x$. Весом координаты назовем минимальное количество прыжков, требуемое кузнечику для ее достижения. Определите координату $x < 2010$ с наибольшим весом. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение