қазақша
русскийМатематикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2010 жыл
Есеп №1. $a_1, a_2, \dots, a_n$ бүтін сандар тізбегі арифметикалық прогрессия құрайды, және кез келген $i=1, 2, \dots , n-1$ үшін $a_n$ саны $i$ санына бөлінеді де, және де сол $a_n$ саны $n$ санына бөлінбейді. $n$ санының жай санның дәрежесі екенін дәлелдеңіздер.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Шахмат турниріне қатысқан 8 қатысушының барлығы өзара әртүрлі ұпай санын жинаған. Екінші орын алған қатысушының ұпай саны, соңғы төрт орынға ие болған қатысушылардың ұпай қосындыларына тең. 3-ші және 7-ші орын алған қатысушылар бір бірімен қалай ойнаған? (Шахматта жеңіс үшін 1, тең ойын үшін 1/2, жеңіліс үшін 0 ұпай беріледі. Турнирде әр адам басқа адаммен дәл бір рет ойнаған.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $\omega$ шеңбері $ABCD$ төртбұрышына сырттай сызылған. $AB$ және $DC$ сәулелері $K$, ал $AD$ и $BC$ сәулелері $L$ нүктесінде қиылысады. $\omega$-ның центрі арқылы өтетін және $KL$-ге перпендикуляр түзу $KL$, $CD$ және $AD$ түзулерін сәйкесінше $P$, $Q$ және $R$ нүктелерінде қияды. $QL$, $BP$ және $KR$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $BK$ биссектрисасы жүргізілген. $ABK$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберіне $K$ нүктесінде жүргізілген жанама $BC$ қабырғасын $L$ нүктеде қияды. $AL$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $M$ нүктесінде қисын. $BM$ түзуінің $ KL$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Нақты $x, y, z \in (0;1)$ сандары үшін $8xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ теңдігі орындалады. $x+y+z \geq 1$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Шегіртке координат өсіндегі 0 нүктеде тұр. Әр секірім сайын оған координатасы $x$ болатын нүктеден координатасы $x + 1$ немесе $2x$ болатын нүктеге секіру рұқсат. Координаттың «салмағы» деп, сол координатаға жетуге қажет секірім санының ең кішісін айтамыз. Координатасы $x < 2010$ болатын ең үлкен салмақты табыңыздар.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение
комментарий/решение