Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс


Треугольник $ABC$ ($AC > BC$) вписан в окружность $\omega$. Биссектриса $CN$ этого треугольника пересекает $\omega$ в точке $M$ ($M\ne C$). На отрезке $BN$ отмечена произвольная точка $T$. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $MNT$. Описанная окружность треугольника $MNH$ пересекает $\omega$ в точке $R$ ($R\ne M$). Докажите, что $\angle ACT = \angle BCR$. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2021-04-28 18:13:06.0 #

$AC>BC$, значит $\angle CNA=\angle BNM>90°$, $\Rightarrow H$ находится вне $\triangle TNM$. Пусть $\angle RAC=\alpha$, $\angle MCR=\beta$, $\angle CMH=\gamma$, $P \in BA \cap CR$, $K \in TH \cap CR$. $$\angle HMR=\angle HMA+\angle AMR=(180°-90°-(\alpha+\beta))+\alpha=90°-\beta$$

$\angle TKP=180°-\angle KTP-\angle KPT=180°-\angle HMN-(180°-(180°-\angle PCA-\angle PAC))=180°-\gamma-(\alpha+\angle BMC)=180°-\gamma-(\alpha+\angle BML-\gamma)=180°-\gamma-(\alpha+90°-\alpha-\beta-\gamma)=90°+\beta$, $$\angle TKP=90°+\beta$$

$\angle HMR+\angle TKP=180°$, $\Rightarrow MNHKR$ - вписанный пятиугольник. Пусть $\angle TMC=y$, тогда $$\angle MTK=90°-y,$$ $\angle HKM=180°-\angle MNH=180°-(180°-(90°-y))=90-y$, $\Rightarrow TM=MK$, $\Rightarrow CT=CK, \angle TCM=\angle KCM=\beta$, тогда

$$\angle ACT=\angle BCR=\alpha+2\beta,$$ что и требовалось доказать.

  1
2021-04-28 18:46:51.0 #