Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс


Задача №1.  Дан параллелограмм $ABCD$. Некоторая окружность проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $BD$ и $AC$ во второй раз соответственно в точках $X$ и $Y$, а описанная окружность треугольника $ADX$ пересекает отрезок $AC$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что отрезки $AY$ и $CZ$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)
Задача №2.  Известно, что $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника. Докажите, что $\frac{\left(a+b+c\right)(c+a-b)}{\left(a+b-c\right)(b+c-a)}\geq\frac{9(3a-5b+3c)}{3a+5b-3c}.$ ( М. Кабак )
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Дополненная десятичная запись натурального числа $n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа $n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть $n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Можно ли разрезать прямоугольник размером $2018\times 2019$ на фигурки вида уголка из 5 клеток (фигура, полученная вырезанием квадрата $2 \times 2$ из квадрата $3 \times 3$) и квадратика $2 \times 2$ (фигурки можно поворачивать и переворачивать)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(5)
Задача №5.  Решите в целых числах уравнение $2^a+a^2=4^b+b^2$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)
Задача №6.  На боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$ нашлась точка $M$ такая, что $BM=BC$. Пусть прямые $BM$ и $AC$ пересекаются в точке $K$, а прямые $DK$ и $BC$ — в точке $L$. Докажите, что углы $BML$ и $DAM$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)
результаты