20-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2024 год

Окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Линия центров этих окружностей пересекает $\Omega$ и $\Gamma$ в точках $P$ и $Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $AB$, причём точка $Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от $AB$ взята окружность $\delta$, касающаяся отрезка $AB$ в точке $D$ и $\Gamma$ в точке $T$. Прямая $PD$ вторично пересекает $\delta$ и $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle QTK=\angle DTL$. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )

Комментарий/решение

$TD \cap \Gamma=R \Rightarrow RA=RB$ (Лемма Архимеда)

$\angle TQR=\angle TQA+\angle AQR=\angle TDA=\angle TKD \Rightarrow P,Q,K,T$ - лежат на одной окружности.

$-DT\cdot DR=pow(D,\Gamma)=pow(D,\Omega)=-DP\cdot DL \Rightarrow P,T,L,R$ - лежат на одной окружности.

$\angle QTK=\angle QPK=\angle RPL= \angle RTL=\angle DTL$.

Иначе:

$TD \cap \Gamma=R \Rightarrow RA=RB$ (Лемма Архимеда)

$DT\cdot DR=|pow(D,\Gamma)|=|pow(D,\Omega)|=DP\cdot DL \Rightarrow P,T,L,R$ - лежат на одной окружности.

Тогда $\triangle TKL$ и $\triangle TQR$ поворотно гомотетичны, откуда и равенство углов.