20-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2024 год

$\Omega$ және $\Gamma$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. Осы шеңберлердің центрлері арқылы өтетін түзу $\Omega$ және $\Gamma$-ны, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды (мұнда $P$ және $Q$ нүктелері $AB$-ның бір жағында жатыр әрі $Q$ нүктесі $P$-ға қарағанда $AB$-ға жақынырақ орналасқан). $\delta$ шеңбері $AB$ кесіндісін $D$, ал $\Gamma$-ны $T$ нүктесінде жанайды (мұнда $\delta$ шеңбері және $P$, $Q$ нүктелері $AB$-ның бір жағында жатыр). $PD$ түзуі $\delta$-ны екінші рет $K$, ал $\Omega$-ны екінші рет $L$ нүктесінде қияды. $\angle QTK=\angle DTL$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )

Комментарий/решение

$TD \cap \Gamma=R \Rightarrow RA=RB$ (Лемма Архимеда)

$\angle TQR=\angle TQA+\angle AQR=\angle TDA=\angle TKD \Rightarrow P,Q,K,T$ - лежат на одной окружности.

$-DT\cdot DR=pow(D,\Gamma)=pow(D,\Omega)=-DP\cdot DL \Rightarrow P,T,L,R$ - лежат на одной окружности.

$\angle QTK=\angle QPK=\angle RPL= \angle RTL=\angle DTL$.

Иначе:

$TD \cap \Gamma=R \Rightarrow RA=RB$ (Лемма Архимеда)

$DT\cdot DR=|pow(D,\Gamma)|=|pow(D,\Omega)|=DP\cdot DL \Rightarrow P,T,L,R$ - лежат на одной окружности.

Тогда $\triangle TKL$ и $\triangle TQR$ поворотно гомотетичны, откуда и равенство углов.